---

Step * 1 1 of Lemma basic-implies-strong-continuity2

.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. [F] : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. ∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ)) [(∀f:ℕ ⟶ T
                                            ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
                                            ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
                                            ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer))))]
⊢ ∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
   ∀f:ℕ ⟶ T. ((↓∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
BY
{ (ExRepD THEN InstConcl [⌜λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ ⌝]⋅) }

1
.....wf..... 
1. T : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
4. ∀f:ℕ ⟶ T
     ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
     ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
     ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
⊢ λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅  ∈ n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)

2
1. [T] : Type
2. [F] : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
4. [%2] : ∀f:ℕ ⟶ T
            ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
            ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
            ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
⊢ ∀f:ℕ ⟶ T
    ((↓∃n:ℕ. (((λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ ) n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))
    ∧ (∀n:ℕ
         ((λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ ) n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) 
         supposing ↑isl((λn,f. case int?(M n f) of inl(x) => inl x | inr(x) => inr ⋅ ) n f)))

3
.....wf..... 
1. T : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ ⋃ (ℕ × ℕ))
4. ∀f:ℕ ⟶ T
     ((∃n:ℕ. ((M n f) = (F f) ∈ ℕ))
     ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (F f) ∈ ℕ supposing M n f is an integer)
     ∧ (∀n,m:ℕ.  ((n ≤ m) ⇒ M n f is an integer ⇒ M m f is an integer)))
5. M1 : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
⊢ istype(∀f:ℕ ⟶ T
           ((↓∃n:ℕ. ((M1 n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M1 n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M1 n f))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [T]  :  Type
2.  [F]  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  \mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  \mcup{}  (\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbN{}))  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
                                                                                        ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (F  f)))
                                                                                        \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (F  f)  supposing  M  n  f  is  an  integer)
                                                                                        \mwedge{}  (\mforall{}n,m:\mBbbN{}.
                                                                                                  ((n  \mleq{}  m)
                                                                                                  {}\mRightarrow{}  M  n  f  is  an  integer
                                                                                                  {}\mRightarrow{}  M  m  f  is  an  integer))))]
\mvdash{}  \mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
      \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
          ((\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)))


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n,f.  case  int?(M  n  f)  of  inl(x)  =>  inl  x  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  \mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index