---

Step * 1 1 2 1 1 2 1 of Lemma strong-continuity3-implies-4


1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
6. f : ℕ ⟶ T
7. n : ℕ
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
10. i : ℕimax(n;F f) + 1
11. x1 : (↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1
12. (d (imax(n;F f) + 1) f) = (inl <i, x1>) ∈ Dec(∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1))
13. m : ℕ
14. x : ∃i:ℕm. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < m)
15. (d m f) = (inl x) ∈ Dec(∃i:ℕm. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < m))
⊢ (↑isl(M (fst(x)) f)) ⇒ ((M (fst(x)) f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
BY
{ (RepeatFor 2 (D -2) THEN Reduce 0) }

1
1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
6. f : ℕ ⟶ T
7. n : ℕ
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
10. i : ℕimax(n;F f) + 1
11. x1 : (↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1
12. (d (imax(n;F f) + 1) f) = (inl <i, x1>) ∈ Dec(∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1))
13. m : ℕ
14. i1 : ℕm
15. x3 : ↑isl(M i1 f)
16. x4 : outl(M i1 f) < m
17. (d m f) = (inl <i1, x3, x4>) ∈ Dec(∃i:ℕm. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < m))
⊢ (↑isl(M i1 f)) ⇒ ((M i1 f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
4.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))
5.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  ((\muparrow{}isl(M  i  s))  \mwedge{}  outl(M  i  s)  <  n))
6.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))
9.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))
10.  i  :  \mBbbN{}imax(n;F  f)  +  1
11.  x1  :  (\muparrow{}isl(M  i  f))  \mwedge{}  outl(M  i  f)  <  imax(n;F  f)  +  1
12.  (d  (imax(n;F  f)  +  1)  f)  =  (inl  <i,  x1>)
13.  m  :  \mBbbN{}
14.  x  :  \mexists{}i:\mBbbN{}m.  ((\muparrow{}isl(M  i  f))  \mwedge{}  outl(M  i  f)  <  m)
15.  (d  m  f)  =  (inl  x)
\mvdash{}  (\muparrow{}isl(M  (fst(x))  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  (fst(x))  f)  =  (inl  (F  f)))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (D  -2)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index