---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma weak-continuity-implies-strong1


1. W : ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ⇃(∃M:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. M : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
4. G : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
5. X : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. K : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕX f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ))
⊢ ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
     ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
BY
{ ((BLemma `implies-prop-truncation` THENA Auto)
   THEN (InstConcl [⌜λn,a. if M ext2Baire(n;a;0) ≤z n then inl (F ext2Baire(n;a;0)) else inr Ax  fi ⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. W : ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ⇃(∃M:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. M : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
4. G : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
5. X : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. K : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕX f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ))
7. f : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ∃n:ℕ. (if M ext2Baire(n;f;0) ≤z n then inl (F ext2Baire(n;f;0)) else inr Ax  fi  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))

2
1. W : ∀F:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ⇃(∃M:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
2. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
3. M : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
4. G : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ))
5. X : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. K : ∀f,g:ℕ ⟶ ℕ.  ((f = g ∈ (ℕX f ⟶ ℕ)) ⇒ ((M f) = (M g) ∈ ℕ))
7. f : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ∀n:ℕ
    if M ext2Baire(n;f;0) ≤z n then inl (F ext2Baire(n;f;0)) else inr Ax  fi  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) 
    supposing ↑isl(if M ext2Baire(n;f;0) ≤z n then inl (F ext2Baire(n;f;0)) else inr Ax  fi )

---

Latex:

---

Latex:

1.  W  :  \mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}M:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  G  :  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g)))
5.  X  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
6.  K  :  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((M  f)  =  (M  g)))
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
          \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
              ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f))))


By

---

Latex:
((BLemma  `implies-prop-truncation`  THENA  Auto)
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n,a.  if  M  ext2Baire(n;a;0)  \mleq{}z  n  then  inl  (F  ext2Baire(n;a;0))  else  inr  Ax    fi  \mkleeneclose{}]\000C\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  Reduce  0
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index