---

Step * 3 1 1 1 1 1 1 of Lemma fset-ac-le-distributive


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. xx : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. bs : fset(T)
14. bs ∈ fset-ac-lub(eq;b;c)
15. xx = as ⋃ bs ∈ fset(T)
16. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
18. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ bs ⊆≠ xx supposing ys ∈ a
19. bs ∈ b
20. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⊆≠ bs supposing ys ∈ b ⋃ c
21. ¬xx ∈ fset-ac-glb(eq;a;b)
⊢ False
BY
{ Assert ⌜↓∃z:fset(T). (z ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ∧ z ⊆≠ xx)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. xx : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. bs : fset(T)
14. bs ∈ fset-ac-lub(eq;b;c)
15. xx = as ⋃ bs ∈ fset(T)
16. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
18. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ bs ⊆≠ xx supposing ys ∈ a
19. bs ∈ b
20. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⊆≠ bs supposing ys ∈ b ⋃ c
21. ¬xx ∈ fset-ac-glb(eq;a;b)
⊢ ↓∃z:fset(T). (z ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ∧ z ⊆≠ xx)

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. xx : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. bs : fset(T)
14. bs ∈ fset-ac-lub(eq;b;c)
15. xx = as ⋃ bs ∈ fset(T)
16. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
18. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ bs ⊆≠ xx supposing ys ∈ a
19. bs ∈ b
20. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⊆≠ bs supposing ys ∈ b ⋃ c
21. ¬xx ∈ fset-ac-glb(eq;a;b)
22. ↓∃z:fset(T). (z ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ∧ z ⊆≠ xx)
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
4.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
5.  c  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
6.  fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7.  x  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
8.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;b)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
9.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
10.  xx  :  fset(T)
11.  as  :  fset(T)
12.  as  \mmember{}  a
13.  bs  :  fset(T)
14.  bs  \mmember{}  fset-ac-lub(eq;b;c)
15.  xx  =  as  \mcup{}  bs
16.  \mforall{}[ys:fset(T)]
            \muparrow{}\mneg{}\msubb{}f-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
            supposing  ys  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17.  \{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  xx\}  =  \{\}
18.  \mforall{}[ys:fset(T)].  \mneg{}ys  \mcup{}  bs  \msubseteq{}\mneq{}  xx  supposing  ys  \mmember{}  a
19.  bs  \mmember{}  b
20.  \mforall{}[ys:fset(T)].  \mneg{}ys  \msubseteq{}\mneq{}  bs  supposing  ys  \mmember{}  b  \mcup{}  c
21.  \mneg{}xx  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;b)
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mdownarrow{}\mexists{}z:fset(T).  (z  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;b)  \mwedge{}  z  \msubseteq{}\mneq{}  xx)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index