---

Step * 1 2 1 1 of Lemma injection-is-surjection


1. n : ℕ
2. f : ℕn ⟶ ℕn
3. Inj(ℕn;ℕn;f)
4. i : ℕn
5. ∀a:ℕn. (¬((f a) = i ∈ ℕn))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ Inj(ℕn;ℕn - 1;λa.if f a <z i then f a else (f a) - 1 fi )
BY
{ Assert ⌜∀a:ℕn. (if f a <z i then f a else (f a) - 1 fi  ∈ ℕn - 1)⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. f : ℕn ⟶ ℕn
3. Inj(ℕn;ℕn;f)
4. i : ℕn
5. ∀a:ℕn. (¬((f a) = i ∈ ℕn))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∀a:ℕn. (if f a <z i then f a else (f a) - 1 fi  ∈ ℕn - 1)

2
1. n : ℕ
2. f : ℕn ⟶ ℕn
3. Inj(ℕn;ℕn;f)
4. i : ℕn
5. ∀a:ℕn. (¬((f a) = i ∈ ℕn))
6. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
7. ∀a:ℕn. (if f a <z i then f a else (f a) - 1 fi  ∈ ℕn - 1)
⊢ Inj(ℕn;ℕn - 1;λa.if f a <z i then f a else (f a) - 1 fi )

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n
3.  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)
4.  i  :  \mBbbN{}n
5.  \mforall{}a:\mBbbN{}n.  (\mneg{}((f  a)  =  i))
6.  \mneg{}(n  =  0)
\mvdash{}  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n  -  1;\mlambda{}a.if  f  a  <z  i  then  f  a  else  (f  a)  -  1  fi  )


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}a:\mBbbN{}n.  (if  f  a  <z  i  then  f  a  else  (f  a)  -  1  fi    \mmember{}  \mBbbN{}n  -  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index