---

Step * 2 2 1 1 1 2 2 of Lemma equipollent-choose


1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀m:ℕ.  ((m ≤ n) ⇒ UnorderedCombination(m;ℕn) ~ ℕchoose(n;m))
3. m : {1...}
4. (m + 1) ≤ n
5. ∀b:{x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . ((b|n - 1) = {n - 1} ∈ bag(ℕn))
6. ∀b:{x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . (b = ({n - 1} + (b|¬n - 1)) ∈ bag(ℕn))
⊢ {x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x}  ~ UnorderedCombination(m - 1;ℕn - 1)
BY
{ Assert ⌜∀b:{x:bag(ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . ((b|¬n - 1) ∈ bag(ℕn - 1))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀m:ℕ.  ((m ≤ n) ⇒ UnorderedCombination(m;ℕn) ~ ℕchoose(n;m))
3. m : {1...}
4. (m + 1) ≤ n
5. ∀b:{x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . ((b|n - 1) = {n - 1} ∈ bag(ℕn))
6. ∀b:{x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . (b = ({n - 1} + (b|¬n - 1)) ∈ bag(ℕn))
⊢ ∀b:{x:bag(ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . ((b|¬n - 1) ∈ bag(ℕn - 1))

2
1. n : ℕ
2. ∀n:ℕn. ∀m:ℕ.  ((m ≤ n) ⇒ UnorderedCombination(m;ℕn) ~ ℕchoose(n;m))
3. m : {1...}
4. (m + 1) ≤ n
5. ∀b:{x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . ((b|n - 1) = {n - 1} ∈ bag(ℕn))
6. ∀b:{x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . (b = ({n - 1} + (b|¬n - 1)) ∈ bag(ℕn))
7. ∀b:{x:bag(ℕn)| n - 1 ↓∈ x} . ((b|¬n - 1) ∈ bag(ℕn - 1))
⊢ {x:UnorderedCombination(m;ℕn)| n - 1 ↓∈ x}  ~ UnorderedCombination(m - 1;ℕn - 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  \mforall{}m:\mBbbN{}.    ((m  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  UnorderedCombination(m;\mBbbN{}n)  \msim{}  \mBbbN{}choose(n;m))
3.  m  :  \{1...\}
4.  (m  +  1)  \mleq{}  n
5.  \mforall{}b:\{x:UnorderedCombination(m;\mBbbN{}n)|  n  -  1  \mdownarrow{}\mmember{}  x\}  .  ((b|n  -  1)  =  \{n  -  1\})
6.  \mforall{}b:\{x:UnorderedCombination(m;\mBbbN{}n)|  n  -  1  \mdownarrow{}\mmember{}  x\}  .  (b  =  (\{n  -  1\}  +  (b|\mneg{}n  -  1)))
\mvdash{}  \{x:UnorderedCombination(m;\mBbbN{}n)|  n  -  1  \mdownarrow{}\mmember{}  x\}    \msim{}  UnorderedCombination(m  -  1;\mBbbN{}n  -  1)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}b:\{x:bag(\mBbbN{}n)|  n  -  1  \mdownarrow{}\mmember{}  x\}  .  ((b|\mneg{}n  -  1)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}n  -  1))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index