---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma lattice-extend-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
9. a1 : fset(Point(L))
⊢ uiff(↓∃x:fset(T)
         ((↓∃as:fset(T). (as ∈ a ∧ x ∈ λbs.as ⋃ bs"(b))) ∧ (a1 = f"(x) ∈ fset(Point(L))));↓∃as:fset(Point(L))
                                                                                            ((↓∃x:fset(T)
                                                                                                (x ∈ a
                                                                                                ∧ (as
                                                                                                  = f"(x)
                                                                                                  ∈ fset(Point(L)))))
                                                                                            ∧ (↓∃x:fset(Point(L))
                                                                                                 (x ∈ λxs.f"(xs)"(b)
                                                                                                 ∧ (a1
                                                                                                   = as ⋃ x
                                                                                                   ∈ fset(Point(L)))))))
BY
{ (Auto THEN SqExRepD) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
9. a1 : fset(Point(L))
10. x : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. x ∈ λbs.as ⋃ bs"(b)
14. a1 = f"(x) ∈ fset(Point(L))
⊢ ↓∃as:fset(Point(L))
    ((↓∃x:fset(T). (x ∈ a ∧ (as = f"(x) ∈ fset(Point(L)))))
    ∧ (↓∃x:fset(Point(L)). (x ∈ λxs.f"(xs)"(b) ∧ (a1 = as ⋃ x ∈ fset(Point(L))))))

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
9. a1 : fset(Point(L))
10. as : fset(Point(L))
11. x1 : fset(T)
12. x1 ∈ a
13. as = f"(x1) ∈ fset(Point(L))
14. x : fset(Point(L))
15. x ∈ λxs.f"(xs)"(b)
16. a1 = as ⋃ x ∈ fset(Point(L))
⊢ ↓∃x:fset(T). ((↓∃as:fset(T). (as ∈ a ∧ x ∈ λbs.as ⋃ bs"(b))) ∧ (a1 = f"(x) ∈ fset(Point(L))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  L  :  BoundedDistributiveLattice
4.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
6.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
7.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
8.  \mforall{}[s:fset(fset(T))].  (\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(s))  =  \mlambda{}x./\mbackslash{}(f"(x))"(s))
9.  a1  :  fset(Point(L))
\mvdash{}  uiff(\mdownarrow{}\mexists{}x:fset(T)
                  ((\mdownarrow{}\mexists{}as:fset(T).  (as  \mmember{}  a  \mwedge{}  x  \mmember{}  \mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(b)))  \mwedge{}  (a1  =  f"(x)));\mdownarrow{}\mexists{}as:fset(Point(L))
                                                                                                                                                      ((\mdownarrow{}\mexists{}x:fset(T)
                                                                                                                                                              (x  \mmember{}  a
                                                                                                                                                              \mwedge{}  (as  =  f"(x))))
                                                                                                                                                      \mwedge{}  (\mdownarrow{}\mexists{}x:fset(Point(L))
                                                                                                                                                                (x  \mmember{}  \mlambda{}xs.f"(xs)"(b)
                                                                                                                                                                \mwedge{}  (a1  =  as  \mcup{}  x)))))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  SqExRepD)

---

Home Index