---

Step * 1 7 1 1 1 1 2 2 of Lemma KozenSilva-lemma


1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. h : PowerSeries(r)
5. n : ℕ
6. m : ℕ
7. n ≤ m
8. ¬(x = y ∈ Atom)
9. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m)
10. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n)))
11. ∀f,g:PowerSeries(r).
      ([([(f+g)]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = ([([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m+[([g]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m) ∈ PowerSeries(r))
12. ∀f,g:PowerSeries(r).
      (([(f+g)]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))+([g]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m 
         - n)))
      ∈ PowerSeries(r))
13. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).  ([([(c)*f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = (c)*[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m ∈ PowerSeries(r))
14. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).
      (([(c)*f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (c)*([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      ∈ PowerSeries(r))
15. b : bag(Atom)
16. #(b) = n ∈ ℤ
17. IsMonoid(PowerSeries(r);λk,y. (k+y);0)
18. Comm(PowerSeries(r);λk,y. (k+y))
19. #((b|¬y)) ≤ #(b)
⊢ fps-summation(r;{#((b|¬y))};k.([<(b|¬y)>]_k*[Δ(x,y)]_m - k))
= (<b>(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
∈ PowerSeries(r)
BY
{ xxx(Unfold `fps-summation` 0
      THEN RWO "bag-summation-single" 0
      THEN Auto'
      THEN ((RWO "fps-single-slice" 0 THEN Auto')
            THEN AutoSplit
            THEN RWO "fps-pascal-slice" 0
            THEN Auto'
            THEN Fold `fps-atom` 0)⋅)xxx }

1
1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. h : PowerSeries(r)
5. n : ℕ
6. m : ℕ
7. n ≤ m
8. ¬(x = y ∈ Atom)
9. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m)
10. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n)))
11. ∀f,g:PowerSeries(r).
      ([([(f+g)]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = ([([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m+[([g]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m) ∈ PowerSeries(r))
12. ∀f,g:PowerSeries(r).
      (([(f+g)]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))+([g]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m 
         - n)))
      ∈ PowerSeries(r))
13. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).  ([([(c)*f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = (c)*[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m ∈ PowerSeries(r))
14. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).
      (([(c)*f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (c)*([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      ∈ PowerSeries(r))
15. b : bag(Atom)
16. #(b) = n ∈ ℤ
17. IsMonoid(PowerSeries(r);λk,y. (k+y);0)
18. Comm(PowerSeries(r);λk,y. (k+y))
19. #((b|¬y)) ≤ #(b)
20. #((b|¬y)) = #((b|¬y)) ∈ ℤ
⊢ (<(b|¬y)>*((atom(x)+atom(y)))^(m - #((b|¬y))))
= (<b>(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
∈ PowerSeries(r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  x  :  Atom
3.  y  :  Atom
4.  h  :  PowerSeries(r)
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  m  :  \mBbbN{}
7.  n  \mleq{}  m
8.  \mneg{}(x  =  y)
9.  fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.[([f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m)
10.  fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.([f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n)))
11.  \mforall{}f,g:PowerSeries(r).
            ([([(f+g)]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m  =  ([([f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m+[([g]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m))
12.  \mforall{}f,g:PowerSeries(r).
            (([(f+g)]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))
            =  (([f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))
                  +([g]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))))
13.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(r).    ([([(c)*f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m  =  (c)*[([f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m)
14.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(r).
            (([(c)*f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))
            =  (c)*([f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n)))
15.  b  :  bag(Atom)
16.  \#(b)  =  n
17.  IsMonoid(PowerSeries(r);\mlambda{}k,y.  (k+y);0)
18.  Comm(PowerSeries(r);\mlambda{}k,y.  (k+y))
19.  \#((b|\mneg{}y))  \mleq{}  \#(b)
\mvdash{}  fps-summation(r;\{\#((b|\mneg{}y))\};k.([<(b|\mneg{}y)>]\_k*[\mDelta{}(x,y)]\_m  -  k))
=  (<b>(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))


By

---

Latex:
xxx(Unfold  `fps-summation`  0
        THEN  RWO  "bag-summation-single"  0
        THEN  Auto'
        THEN  ((RWO  "fps-single-slice"  0  THEN  Auto')
                    THEN  AutoSplit
                    THEN  RWO  "fps-pascal-slice"  0
                    THEN  Auto'
                    THEN  Fold  `fps-atom`  0)\mcdot{})xxx

---

Home Index