---

Step * 1 1 2 2 1 2 1 1 of Lemma Long-theorem


1. x : Atom
2. y : Atom
3. x ≠ y ∈ Atom 
4. ¬(x = y ∈ Atom)
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
8. n : ℕ+
9. k : ℕ+
10. upto(k) ∈ bag(ℕk)
11. y = y ∈ Atom
12. IsAction(|ℤ-rng|;*;1;PowerSeries(ℤ-rng);λc,f. (c)*f)
13. ∀[a1,a2:|ℤ-rng|]. ∀[b:PowerSeries(ℤ-rng)].
      (((a1 +ℤ-rng a2) (λc,f. (c)*f) b) = ((a1 (λc,f. (c)*f) b) (λf,g. (f+g)) (a2 (λc,f. (c)*f) b)) ∈ PowerSeries(ℤ-rng)\000C)
14. ∀[a:|ℤ-rng|]. ∀[b1,b2:PowerSeries(ℤ-rng)].
      ((a (λc,f. (c)*f) (b1 (λf,g. (f+g)) b2)) = ((a (λc,f. (c)*f) b1) (λf,g. (f+g)) (a (λc,f. (c)*f) b2)) ∈ PowerSeries\000C(ℤ-rng))
15. ∀c:|ℤ-rng|. Dist1op2opLR(PowerSeries(ℤ-rng);λf.(c)*f;λf,g. (f*g))
⊢ ((a - b)*atom(x)+(b)*((k)*atom(x)+atom(y))) = ((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y)) ∈ PowerSeries(ℤ-rng)
BY
{ All Reduce }

1
1. x : Atom
2. y : Atom
3. x ≠ y ∈ Atom 
4. ¬(x = y ∈ Atom)
5. a : ℤ
6. b : ℤ
7. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
8. n : ℕ+
9. k : ℕ+
10. upto(k) ∈ bag(ℕk)
11. y = y ∈ Atom
12. IsAction(ℤ;λu,v. (u * v);1;PowerSeries(ℤ-rng);λc,f. (c)*f)
13. ∀[a1,a2:ℤ]. ∀[b:PowerSeries(ℤ-rng)].  ((a1 + a2)*b = ((a1)*b+(a2)*b) ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
14. ∀[a:ℤ]. ∀[b1,b2:PowerSeries(ℤ-rng)].  ((a)*(b1+b2) = ((a)*b1+(a)*b2) ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
15. ∀c:ℤ. Dist1op2opLR(PowerSeries(ℤ-rng);λf.(c)*f;λf,g. (f*g))
⊢ ((a - b)*atom(x)+(b)*((k)*atom(x)+atom(y))) = ((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y)) ∈ PowerSeries(ℤ-rng)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  Atom
2.  y  :  Atom
3.  x  \mneq{}  y  \mmember{}  Atom 
4.  \mneg{}(x  =  y)
5.  a  :  \mBbbZ{}
6.  b  :  \mBbbZ{}
7.  \mforall{}[d:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}].  \mforall{}[k:\mBbbN{}].
          (Moessner(\mBbbZ{}-rng;x;y;((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
          =  ([((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y))]\_d 
                                                                                0(y:=((k  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                                                                                +atom(y)))\^{}(d  (i  +  1))))
8.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  upto(k)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k)
11.  y  =  y
12.  IsAction(|\mBbbZ{}-rng|;*;1;PowerSeries(\mBbbZ{}-rng);\mlambda{}c,f.  (c)*f)
13.  \mforall{}[a1,a2:|\mBbbZ{}-rng|].  \mforall{}[b:PowerSeries(\mBbbZ{}-rng)].
            (((a1  +\mBbbZ{}-rng  a2)  (\mlambda{}c,f.  (c)*f)  b)  =  ((a1  (\mlambda{}c,f.  (c)*f)  b)  (\mlambda{}f,g.  (f+g))  (a2  (\mlambda{}c,f.  (c)*f)  b)))
14.  \mforall{}[a:|\mBbbZ{}-rng|].  \mforall{}[b1,b2:PowerSeries(\mBbbZ{}-rng)].
            ((a  (\mlambda{}c,f.  (c)*f)  (b1  (\mlambda{}f,g.  (f+g))  b2))  =  ((a  (\mlambda{}c,f.  (c)*f)  b1)  (\mlambda{}f,g.  (f+g))  (a  (\mlambda{}c,f.  (c)*f\000C)  b2)))
15.  \mforall{}c:|\mBbbZ{}-rng|.  Dist1op2opLR(PowerSeries(\mBbbZ{}-rng);\mlambda{}f.(c)*f;\mlambda{}f,g.  (f*g))
\mvdash{}  ((a  -  b)*atom(x)+(b)*((k)*atom(x)+atom(y)))  =  ((a  +  ((k  -  1)  *  b))*atom(x)+(b)*atom(y))


By

---

Latex:
All  Reduce

---

Home Index