---

Step * 1 1 of Lemma fps-div-coeff-property

.....equality..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : |r|
8. (g[{}] * x) = 1 ∈ |r|
9. Comm(|r|;+r)
10. Assoc(|r|;+r)
11. b : bag(X)
12. (x * (f[b] +r (-r Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). g[fst(p)] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)))))
= fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;b)
∈ |r|
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;b)). * (g (fst(p))) fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p))
= (Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). g[fst(p)] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)) 
   +r 
   (g[{}] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;b)))
∈ |r|
BY
{ xxx(Thin (-1)⋅
      THEN Subst 
      ⌜(g[{}] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;b)) = Σ(p∈{<{}, b>}). g[fst(p)] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)) ∈ |r|⌝ 0⋅
      THEN Auto)xxx }

1
.....equality..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : |r|
8. (g[{}] * x) = 1 ∈ |r|
9. Comm(|r|;+r)
10. Assoc(|r|;+r)
11. b : bag(X)
⊢ (g[{}] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;b)) = Σ(p∈{<{}, b>}). g[fst(p)] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)) ∈ |r|

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. f : PowerSeries(X;r)
6. g : PowerSeries(X;r)
7. x : |r|
8. (g[{}] * x) = 1 ∈ |r|
9. Comm(|r|;+r)
10. Assoc(|r|;+r)
11. b : bag(X)
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;b)). * (g (fst(p))) fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p))
= (Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). g[fst(p)] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)) 
   +r 
   Σ(p∈{<{}, b>}). g[fst(p)] * fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:
.....equality..... 
1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  f  :  PowerSeries(X;r)
6.  g  :  PowerSeries(X;r)
7.  x  :  |r|
8.  (g[\{\}]  *  x)  =  1
9.  Comm(|r|;+r)
10.  Assoc(|r|;+r)
11.  b  :  bag(X)
12.  (x 
          * 
          (f[b] 
            +r 
            (-r 
              \mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  g[fst(p)] 
                                                                                                                  * 
                                                                                                                  fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)))))
=  fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;b)
\mvdash{}  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;b)).  *  (g  (fst(p)))  fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p))
=  (\mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  g[fst(p)]  *  fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p)) 
      +r 
      (g[\{\}]  *  fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;b)))


By

---

Latex:
xxx(Thin  (-1)\mcdot{}
        THEN  Subst  \mkleeneopen{}(g[\{\}]  *  fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;b))
                                =  \mSigma{}(p\mmember{}\{<\{\},  b>\}).  g[fst(p)]  *  fps-div-coeff(eq;r;f;g;x;snd(p))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
        THEN  Auto)xxx

---

Home Index