---

Step * 2 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma fps-geometric-slice_lemma2

.....equality..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ+
6. m : ℕn
7. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
11. upto(m + 1) ∈ bag(ℤ)
12. IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0)
13. Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
14. ∀[R:Type]. ∀[add:R ⟶ R ⟶ R]. ∀[zero:R]. ∀[b:bag(ℤ)]. ∀[p:ℤ ⟶ 𝔹]. ∀[f:ℤ ⟶ R].
      Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] = Σ(x∈b). if p[x] then f[x] else zero fi  ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
15. k : ℤ
16. k ≠ 0
17. k ↓∈ upto(m + 1)
⊢ [(1-g)]_k = 0 ∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ xxx(RWO "fps-sub-slice" 0 THEN Auto)⋅xxx }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ+
6. m : ℕn
7. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
11. upto(m + 1) ∈ bag(ℤ)
12. IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0)
13. Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
14. ∀[R:Type]. ∀[add:R ⟶ R ⟶ R]. ∀[zero:R]. ∀[b:bag(ℤ)]. ∀[p:ℤ ⟶ 𝔹]. ∀[f:ℤ ⟶ R].
      Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] = Σ(x∈b). if p[x] then f[x] else zero fi  ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
15. k : ℤ
16. k ≠ 0
17. k ↓∈ upto(m + 1)
⊢ ([1]_k-[g]_k) = 0 ∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:
.....equality..... 
1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  m  :  \mBbbN{}n
7.  \mneg{}(m  =  0)
8.  g  :  PowerSeries(X;r)
9.  g  =  [g]\_n
10.  IsRing(PowerSeries(X;r);\mlambda{}f,g.  (f+g);0;\mlambda{}f.-(f);\mlambda{}f,g.  (f*g);1)
11.  upto(m  +  1)  \mmember{}  bag(\mBbbZ{})
12.  IsMonoid(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y);0)
13.  Comm(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y))
14.  \mforall{}[R:Type].  \mforall{}[add:R  {}\mrightarrow{}  R  {}\mrightarrow{}  R].  \mforall{}[zero:R].  \mforall{}[b:bag(\mBbbZ{})].  \mforall{}[p:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].  \mforall{}[f:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  R].
            \mSigma{}(x\mmember{}[x\mmember{}b|p[x]]).  f[x]  =  \mSigma{}(x\mmember{}b).  if  p[x]  then  f[x]  else  zero  fi   
            supposing  IsMonoid(R;add;zero)  \mwedge{}  Comm(R;add)
15.  k  :  \mBbbZ{}
16.  k  \mneq{}  0
17.  k  \mdownarrow{}\mmember{}  upto(m  +  1)
\mvdash{}  [(1-g)]\_k  =  0


By

---

Latex:
xxx(RWO  "fps-sub-slice"  0  THEN  Auto)\mcdot{}xxx

---

Home Index