---

Step * 1 1 2 1 of Lemma fps-mul-slice


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;x)). (f (fst(p))) * (g (snd(p)))
= Σ(k∈upto(n + 1)). Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;x)|(#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k)]). (f (fst(p))) * (g (snd(p)))
∈ |r|
BY
{ xxx((InstLemma `bag-summation-partition` [⌜ℤ⌝;⌜|r|⌝;⌜{p:bag(X) × bag(X)| p ↓∈ bag-partitions(eq;x)} ⌝]⋅ THENA Auto)
      THEN (RWO "-1<" 0 THEN Thin 14)
      THEN Auto
      THEN Auto
      THEN Try ((BLemma `bag-settype` THEN Auto)⋅))xxx }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
14. IsMonoid(|r|;+r;0)
15. Comm(|r|;+r)
16. p : {x@0:{p:bag(X) × bag(X)| p ↓∈ bag-partitions(eq;x)} | x@0 ↓∈ bag-partitions(eq;x)} 
⊢ ∃k:ℤ [(k ↓∈ upto(n + 1) ∧ (↑((#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k))))]

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
14. IsMonoid(|r|;+r;0)
15. Comm(|r|;+r)
16. ∀p:{x@0:{p:bag(X) × bag(X)| p ↓∈ bag-partitions(eq;x)} | x@0 ↓∈ bag-partitions(eq;x)} 
      (∃k:ℤ [(k ↓∈ upto(n + 1) ∧ (↑((#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k))))])
⊢ bag-no-repeats(ℤ;upto(n + 1))

3
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
14. IsMonoid(|r|;+r;0)
15. Comm(|r|;+r)
16. ∀p:{x@0:{p:bag(X) × bag(X)| p ↓∈ bag-partitions(eq;x)} | x@0 ↓∈ bag-partitions(eq;x)} 
      (∃k:ℤ [(k ↓∈ upto(n + 1) ∧ (↑((#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k))))])
17. bag-no-repeats(ℤ;upto(n + 1))
18. z1 : ℤ
19. z2 : ℤ
20. p : {p:bag(X) × bag(X)| p ↓∈ bag-partitions(eq;x)} 
21. ↑((#(fst(p)) =z z1) ∧b (#(snd(p)) =z n - z1))
22. ↑((#(fst(p)) =z z2) ∧b (#(snd(p)) =z n - z2))
⊢ z1 = z2 ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  f  :  PowerSeries(X;r)
7.  g  :  PowerSeries(X;r)
8.  Assoc(|r|;+r)
9.  Comm(|r|;+r)
10.  x  :  bag(X)
11.  upto(n  +  1)  \mmember{}  bag(\mBbbN{})
12.  IsMonoid(|r|;+r;0)
13.  \#(x)  =  n
\mvdash{}  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;x)).  (f  (fst(p)))  *  (g  (snd(p)))
=  \mSigma{}(k\mmember{}upto(n  +  1)).  \mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;x)|(\#(fst(p))  =\msubz{}  k)  \mwedge{}\msubb{}  (\#(snd(p))  =\msubz{}  n  -  k)])
                                          (f  (fst(p)))  *  (g  (snd(p)))


By

---

Latex:
xxx((InstLemma  `bag-summation-partition`  [\mkleeneopen{}\mBbbZ{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|r|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\{p:bag(X)  \mtimes{}  bag(X)|  p  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-partitions(eq;x)\}  \000C\mkleeneclose{}
          ]\mcdot{}
          THENA  Auto
          )
        THEN  (RWO  "-1<"  0  THEN  Thin  14)
        THEN  Auto
        THEN  Auto
        THEN  Try  ((BLemma  `bag-settype`  THEN  Auto)\mcdot{}))xxx

---

Home Index