---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma Taylor-series-bounded-converges-everywhere


1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
11. M : ℕ+
12. ∀k:{M...}. (|r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j)))
13. x : {x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} 
14. k : {imax(N;M)...}
⊢ |(r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j))
BY
{ ((Assert (imax(N;M) ≤ k) ∧ (N ≤ imax(N;M)) ∧ (M ≤ imax(N;M)) BY
          Auto)
   THEN (Assert |F[k + 1;x]| ≤ c BY
               (BackThruSomeHyp THEN DVar `x' THEN (MemTypeCD THEN Auto) THEN RWO "rabs-rleq-iff" 0 THEN Auto))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜F[k + 1;x]⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
11. M : ℕ+
12. ∀k:{M...}. (|r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j)))
13. x : {x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} 
14. k : {imax(N;M)...}
15. (imax(N;M) ≤ k) ∧ (N ≤ imax(N;M)) ∧ (M ≤ imax(N;M))
16. v : ℝ
17. F[k + 1;x] = v ∈ ℝ
⊢ (|v| ≤ c) ⇒ (|(r^k * (v/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact([r(-m),  r(m)])\} 
6.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  c
10.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c)
11.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mforall{}k:\{M...\}.  (|r\^{}k  *  (c/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/r(j)))
13.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r(-m)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r(m))\} 
14.  k  :  \{imax(N;M)...\}
\mvdash{}  |(r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!)))  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(j))


By

---

Latex:
((Assert  (imax(N;M)  \mleq{}  k)  \mwedge{}  (N  \mleq{}  imax(N;M))  \mwedge{}  (M  \mleq{}  imax(N;M))  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  |F[k  +  1;x]|  \mleq{}  c  BY
                          (BackThruSomeHyp
                            THEN  DVar  `x'
                            THEN  (MemTypeCD  THEN  Auto)
                            THEN  RWO  "rabs-rleq-iff"  0
                            THEN  Auto))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}F[k  +  1;x]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index