---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma Taylor-series-bounded-converges-everywhere


1. F : ℕ ⟶ ℝ ⟶ ℝ
2. ∀k:ℕ. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
3. infinite-deriv-seq((-∞, ∞);i,x.F[i;x])
4. r : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
5. m : {m:ℕ+| icompact([r(-m), r(m)])} 
6. j : ℕ+
7. N : ℕ
8. c : ℝ
9. r0 < c
10. ∀k:{N...}. ∀x:{x:ℝ| |x| ≤ r(m)} .  (|F[k;x]| ≤ c)
11. M : ℕ+
12. ∀k:{M...}. (|r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j)))
13. x : {x:ℝ| (r(-m) ≤ x) ∧ (x ≤ r(m))} 
14. k : {imax(N;M)...}
15. (imax(N;M) ≤ k) ∧ (N ≤ imax(N;M)) ∧ (M ≤ imax(N;M))
16. v : ℝ
17. F[k + 1;x] = v ∈ ℝ
⊢ (|v| ≤ c) ⇒ (|(r^k * (v/r((k)!))) - r0| ≤ (r1/r(j)))
BY
{ ((Assert |r^k * (c/r((k)!))| ≤ (r1/r(j)) BY
          Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)⋅
   THEN (Assert r0 < r((k)!) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜r((k)!)⌝;⌜r^k⌝]⋅
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. j : ℕ+
2. c : ℝ
3. v : ℝ
4. v1 : ℝ
5. v2 : ℝ
6. r0 < v1
7. |v2 * (c/v1)| ≤ (r1/r(j))
8. |v| ≤ c
⊢ |(v2 * (v/v1)) - r0| ≤ (r1/r(j))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
3.  infinite-deriv-seq((-\minfty{},  \minfty{});i,x.F[i;x])
4.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
5.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact([r(-m),  r(m)])\} 
6.  j  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  r0  <  c
10.  \mforall{}k:\{N...\}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  r(m)\}  .    (|F[k;x]|  \mleq{}  c)
11.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mforall{}k:\{M...\}.  (|r\^{}k  *  (c/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/r(j)))
13.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r(-m)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r(m))\} 
14.  k  :  \{imax(N;M)...\}
15.  (imax(N;M)  \mleq{}  k)  \mwedge{}  (N  \mleq{}  imax(N;M))  \mwedge{}  (M  \mleq{}  imax(N;M))
16.  v  :  \mBbbR{}
17.  F[k  +  1;x]  =  v
\mvdash{}  (|v|  \mleq{}  c)  {}\mRightarrow{}  (|(r\^{}k  *  (v/r((k)!)))  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(j)))


By

---

Latex:
((Assert  |r\^{}k  *  (c/r((k)!))|  \mleq{}  (r1/r(j))  BY
                Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)\mcdot{}
  THEN  (Assert  r0  <  r((k)!)  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}r((k)!)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\^{}k\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

---

Home Index