---

Step * 1 1 1 2 of Lemma integer-approx_wf


1. x : ℝ
2. k : ℕ+
3. |x - (x within 1/k)| ≤ (r1/r(k))
4. |r(2 * k) * ((x within 1/k) - r((x k) ÷ 2 * k))| = (|r(2 * k)| * |(x within 1/k) - r((x k) ÷ 2 * k)|)
5. (r(2 * k) * ((x within 1/k) - r((x k) ÷ 2 * k))) = r(x k rem 2 * k)
⊢ |(x within 1/k) - r((x k) ÷ 2 * k)| ≤ r1
BY
{ ((Assert |r(2 * k)| = r(2 * k) BY
          EAuto 1)
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN GenConclTerms Auto [⌜r(2 * k)⌝;⌜(x within 1/k)⌝;⌜r((x k) ÷ 2 * k)⌝]⋅
   THEN Auto
   THEN (nRMul ⌜|v|⌝ 0⋅ THENA (RWO "6<" 0 THEN Auto THEN RWO "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "rabs-rmul<" 0 THENA Auto)
   THEN (nRNorm (-2) THEN nRNorm (0))
   THEN RWO  "-2" 0
   THEN Auto) }

1
1. x : ℝ
2. k : ℕ+
3. |x - (x within 1/k)| ≤ (r1/r(k))
4. |r(2 * k) * ((x within 1/k) - r((x k) ÷ 2 * k))| = (|r(2 * k)| * |(x within 1/k) - r((x k) ÷ 2 * k)|)
5. v : ℝ
6. r(2 * k) = v ∈ ℝ
7. v1 : ℝ
8. (x within 1/k) = v1 ∈ ℝ
9. v2 : ℝ
10. r((x k) ÷ 2 * k) = v2 ∈ ℝ
11. ((v * v1) + -(v * v2)) = r(x k rem 2 * k)
12. |v| = v
⊢ |r(x k rem 2 * k)| ≤ |v|

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  |x  -  (x  within  1/k)|  \mleq{}  (r1/r(k))
4.  |r(2  *  k)  *  ((x  within  1/k)  -  r((x  k)  \mdiv{}  2  *  k))|
=  (|r(2  *  k)|  *  |(x  within  1/k)  -  r((x  k)  \mdiv{}  2  *  k)|)
5.  (r(2  *  k)  *  ((x  within  1/k)  -  r((x  k)  \mdiv{}  2  *  k)))  =  r(x  k  rem  2  *  k)
\mvdash{}  |(x  within  1/k)  -  r((x  k)  \mdiv{}  2  *  k)|  \mleq{}  r1


By

---

Latex:
((Assert  |r(2  *  k)|  =  r(2  *  k)  BY
                EAuto  1)
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}r(2  *  k)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(x  within  1/k)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r((x  k)  \mdiv{}  2  *  k)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}|v|\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  (RWO  "6<"  0  THEN  Auto  THEN  RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "rabs-rmul<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (nRNorm  (-2)  THEN  nRNorm  (0))
  THEN  RWO    "-2"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index