---

Step * 1 1 2 1 of Lemma arctangent-bounds


1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. a : {a:ℝ| a ∈ (-(π/2), r0)} 
6. rtan(a) < r(-n)
7. b : {a:ℝ| a ∈ (r0, π/2)} 
8. r(n) < rtan(b)
⊢ ∃y:ℝ. ((y ∈ (-(π/2), π/2)) ∧ (x = rtan(y)))
BY
{ ((InstLemma `IVT-strictly-increasing-open` [⌜a⌝;⌜b⌝;⌜λx.rtan(x)⌝;⌜x⌝]⋅ THENA (DSetVars THEN All Reduce THEN Auto))
   THEN All (RepUR ``so_apply r-ap``)
   THEN Auto) }

1
1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. a : ℝ
6. -(π/2) < a
7. a < r0
8. rtan(a) < r(-n)
9. b : ℝ
10. r0 < b
11. b < π/2
12. r(n) < rtan(b)
13. x1 : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
⊢ x1 ∈ {x:ℝ| (-(π/2) < x) ∧ (x < π/2)} 

2
1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. a : ℝ
6. [%10] : (-(π/2) < a) ∧ (a < r0)
7. rtan(a) < r(-n)
8. b : ℝ
9. [%9] : (r0 < b) ∧ (b < π/2)
10. r(n) < rtan(b)
⊢ rtan(x) strictly-increasing for x ∈ (a, b)

3
1. x : ℝ
2. n : ℕ
3. r(-n) ≤ x
4. x ≤ r(n)
5. a : {a:ℝ| a ∈ (-(π/2), r0)} 
6. rtan(a) < r(-n)
7. b : {a:ℝ| a ∈ (r0, π/2)} 
8. r(n) < rtan(b)
9. ∃x@0:ℝ. (((a < x@0) ∧ (x@0 < b)) ∧ (rtan(x@0) = x))
⊢ ∃y:ℝ. ((y ∈ (-(π/2), π/2)) ∧ (x = rtan(y)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  r(-n)  \mleq{}  x
4.  x  \mleq{}  r(n)
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  r0)\} 
6.  rtan(a)  <  r(-n)
7.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  (r0,  \mpi{}/2)\} 
8.  r(n)  <  rtan(b)
\mvdash{}  \mexists{}y:\mBbbR{}.  ((y  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2))  \mwedge{}  (x  =  rtan(y)))


By

---

Latex:
((InstLemma  `IVT-strictly-increasing-open`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x.rtan(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  (DSetVars  THEN  All  Reduce  THEN  Auto)
    )
  THEN  All  (RepUR  ``so\_apply  r-ap``)
  THEN  Auto)

---

Home Index