---

Step * 1 1 1 2 2 2 of Lemma finite-acyclic-rel


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. [T'] : Type
8. T' ⊆r T
9. T' ~ ℕm
10. acyclic-rel(T';R)
11. a : T'
12. ∀b:T'. (¬(b R a))
13. {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ~ ℕm - 1
14. SWellFounded(x R y)
⊢ SWellFounded(x R y)
BY
{ (D (-1) THEN D 9 THEN (With ⌜λx.if (f1 x =z f1 a) then 0 else (f x) + 1 fi ⌝ (D 0)⋅ THENA Auto)) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. [T'] : Type
8. T' ⊆r T
9. f1 : T' ⟶ ℕm
10. Bij(T';ℕm;f1)
11. acyclic-rel(T';R)
12. a : T'
13. ∀b:T'. (¬(b R a))
14. {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ~ ℕm - 1
15. f : {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ⟶ ℕ
16. ∀x,y:{x:T'| ¬(x = a ∈ T')} .  ((x R y) ⇒ f x < f y)
⊢ ∀x,y:T'.
    ((x R y) ⇒ (λx.if (f1 x =z f1 a) then 0 else (f x) + 1 fi ) x < (λx.if (f1 x =z f1 a) then 0 else (f x) + 1 fi ) y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  R  y)
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  [\%2]  :  0  <  m
6.  \mforall{}[T':Type].  ((T'  \msubseteq{}r  T)  {}\mRightarrow{}  T'  \msim{}  \mBbbN{}m  -  1  {}\mRightarrow{}  acyclic-rel(T';R)  {}\mRightarrow{}  SWellFounded(x  R  y))
7.  [T']  :  Type
8.  T'  \msubseteq{}r  T
9.  T'  \msim{}  \mBbbN{}m
10.  acyclic-rel(T';R)
11.  a  :  T'
12.  \mforall{}b:T'.  (\mneg{}(b  R  a))
13.  \{x:T'|  \mneg{}(x  =  a)\}    \msim{}  \mBbbN{}m  -  1
14.  SWellFounded(x  R  y)
\mvdash{}  SWellFounded(x  R  y)


By

---

Latex:
(D  (-1)  THEN  D  9  THEN  (With  \mkleeneopen{}\mlambda{}x.if  (f1  x  =\msubz{}  f1  a)  then  0  else  (f  x)  +  1  fi  \mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index