---

Step * 1 1 1 2 2 2 1 of Lemma finite-acyclic-rel


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. [T'] : Type
8. T' ⊆r T
9. f1 : T' ⟶ ℕm
10. Bij(T';ℕm;f1)
11. acyclic-rel(T';R)
12. a : T'
13. ∀b:T'. (¬(b R a))
14. {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ~ ℕm - 1
15. f : {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ⟶ ℕ
16. ∀x,y:{x:T'| ¬(x = a ∈ T')} .  ((x R y) ⇒ f x < f y)
⊢ ∀x,y:T'.
    ((x R y) ⇒ (λx.if (f1 x =z f1 a) then 0 else (f x) + 1 fi ) x < (λx.if (f1 x =z f1 a) then 0 else (f x) + 1 fi ) y)
BY
{ (Reduce 0 THEN Auto THEN (AutoBoolCase ⌜(f1 y =z f1 a)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. T' : Type
8. T' ⊆r T
9. f1 : T' ⟶ ℕm
10. Bij(T';ℕm;f1)
11. acyclic-rel(T';R)
12. a : T'
13. ∀b:T'. (¬(b R a))
14. {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ~ ℕm - 1
15. f : {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ⟶ ℕ
16. ∀x,y:{x:T'| ¬(x = a ∈ T')} .  ((x R y) ⇒ f x < f y)
17. x : T'
18. y : T'
19. x R y
20. (f1 y) = (f1 a) ∈ ℤ
⊢ if (f1 x =z f1 a) then 0 else (f x) + 1 fi  < 0

2
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. ∀x,y:T.  Dec(x R y)
4. m : ℤ
5. 0 < m
6. ∀[T':Type]. ((T' ⊆r T) ⇒ T' ~ ℕm - 1 ⇒ acyclic-rel(T';R) ⇒ SWellFounded(x R y))
7. T' : Type
8. T' ⊆r T
9. f1 : T' ⟶ ℕm
10. Bij(T';ℕm;f1)
11. acyclic-rel(T';R)
12. a : T'
13. ∀b:T'. (¬(b R a))
14. {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ~ ℕm - 1
15. f : {x:T'| ¬(x = a ∈ T')}  ⟶ ℕ
16. ∀x,y:{x:T'| ¬(x = a ∈ T')} .  ((x R y) ⇒ f x < f y)
17. x : T'
18. y : T'
19. f1 y ≠ f1 a
20. x R y
⊢ if (f1 x =z f1 a) then 0 else (f x) + 1 fi  < (f y) + 1

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  R  y)
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  [\%2]  :  0  <  m
6.  \mforall{}[T':Type].  ((T'  \msubseteq{}r  T)  {}\mRightarrow{}  T'  \msim{}  \mBbbN{}m  -  1  {}\mRightarrow{}  acyclic-rel(T';R)  {}\mRightarrow{}  SWellFounded(x  R  y))
7.  [T']  :  Type
8.  T'  \msubseteq{}r  T
9.  f1  :  T'  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
10.  Bij(T';\mBbbN{}m;f1)
11.  acyclic-rel(T';R)
12.  a  :  T'
13.  \mforall{}b:T'.  (\mneg{}(b  R  a))
14.  \{x:T'|  \mneg{}(x  =  a)\}    \msim{}  \mBbbN{}m  -  1
15.  f  :  \{x:T'|  \mneg{}(x  =  a)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
16.  \mforall{}x,y:\{x:T'|  \mneg{}(x  =  a)\}  .    ((x  R  y)  {}\mRightarrow{}  f  x  <  f  y)
\mvdash{}  \mforall{}x,y:T'.
        ((x  R  y)
        {}\mRightarrow{}  (\mlambda{}x.if  (f1  x  =\msubz{}  f1  a)  then  0  else  (f  x)  +  1  fi  )  x  <  (\mlambda{}x.if  (f1  x  =\msubz{}  f1  a)
                                                                                                                                then  0
                                                                                                                                else  (f  x)  +  1
                                                                                                                                fi  ) 
                                                                                                                        y)


By

---

Latex:
(Reduce  0  THEN  Auto  THEN  (AutoBoolCase  \mkleeneopen{}(f1  y  =\msubz{}  f1  a)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index