---

Step * 2 1 1 of Lemma omral_bilinear


1. g : OCMon
2. a : CDRng
3. ps : |omral(g;a)|
4. qs : |omral(g;a)|
5. rs : |omral(g;a)|
6. u : |g|
⊢ (Σx ∈ dom(ps).
    Σy ∈ dom(qs ++ rs).
     (when (x * y) =b u.
        ((ps[x]) * ((qs[y]) +a (rs[y])))))
= ((Σx ∈ dom(ps).
     Σy ∈ dom(qs).
      (when (x * y) =b u.
         ((ps[x]) * (qs[y])))) 
   +a 
   (Σx ∈ dom(ps).
     Σy ∈ dom(rs).
      (when (x * y) =b u.
         ((ps[x]) * (rs[y])))))
∈ |a|
BY
{ % equalize domains of summation % 
 
((RWNs [2;4;6] (LemmaWithC [`q',dom(qs) ⋃ dom(rs)] 
        `mset_for_dom_shift`) 0 
THENM Fold `rng_mssum` 0) THENA Auto) 
 }

1
1. g : OCMon
2. a : CDRng
3. ps : |omral(g;a)|
4. qs : |omral(g;a)|
5. rs : |omral(g;a)|
6. u : |g|
7. x : |(g↓oset)|
8. ↑(x
∈b dom(ps))
9. x@0 : |(g↓oset)|
10. ↑(x@0
∈b (dom(qs) ⋃ dom(rs)) - dom(qs ++ rs))
⊢ (when (x * x@0) =b u. ((ps[x]) * ((qs[x@0]) +a (rs[x@0])))) = e ∈ |a↓+gp|

2
.....antecedent..... 
1. g : OCMon
2. a : CDRng
3. ps : |omral(g;a)|
4. qs : |omral(g;a)|
5. rs : |omral(g;a)|
6. u : |g|
7. x : |(g↓oset)|
8. ↑(x
∈b dom(ps))
⊢ ↑(dom(qs) ⊆b (dom(qs) ⋃ dom(rs)))

3
1. g : OCMon
2. a : CDRng
3. ps : |omral(g;a)|
4. qs : |omral(g;a)|
5. rs : |omral(g;a)|
6. u : |g|
7. x : |(g↓oset)|
8. ↑(x
∈b dom(ps))
9. x@0 : |(g↓oset)|
10. ↑(x@0
∈b (dom(qs) ⋃ dom(rs)) - dom(qs))
⊢ (when (x * x@0) =b u. ((ps[x]) * (qs[x@0]))) = e ∈ |a↓+gp|

4
.....antecedent..... 
1. g : OCMon
2. a : CDRng
3. ps : |omral(g;a)|
4. qs : |omral(g;a)|
5. rs : |omral(g;a)|
6. u : |g|
7. x : |(g↓oset)|
8. ↑(x
∈b dom(ps))
⊢ ↑(dom(rs) ⊆b (dom(qs) ⋃ dom(rs)))

5
1. g : OCMon
2. a : CDRng
3. ps : |omral(g;a)|
4. qs : |omral(g;a)|
5. rs : |omral(g;a)|
6. u : |g|
7. x : |(g↓oset)|
8. ↑(x
∈b dom(ps))
9. x@0 : |(g↓oset)|
10. ↑(x@0
∈b (dom(qs) ⋃ dom(rs)) - dom(rs))
⊢ (when (x * x@0) =b u. ((ps[x]) * (rs[x@0]))) = e ∈ |a↓+gp|

6
1. g : OCMon
2. a : CDRng
3. ps : |omral(g;a)|
4. qs : |omral(g;a)|
5. rs : |omral(g;a)|
6. u : |g|
⊢ (Σx ∈ dom(ps).
    Σy ∈ dom(qs) ⋃ dom(rs).
     (when (x * y) =b u.
        ((ps[x]) * ((qs[y]) +a (rs[y])))))
= ((Σx ∈ dom(ps).
     Σy ∈ dom(qs) ⋃ dom(rs).
      (when (x * y) =b u.
         ((ps[x]) * (qs[y])))) 
   +a 
   (Σx ∈ dom(ps).
     Σy ∈ dom(qs) ⋃ dom(rs).
      (when (x * y) =b u.
         ((ps[x]) * (rs[y])))))
∈ |a|

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  OCMon
2.  a  :  CDRng
3.  ps  :  |omral(g;a)|
4.  qs  :  |omral(g;a)|
5.  rs  :  |omral(g;a)|
6.  u  :  |g|
\mvdash{}  (\mSigma{}x  \mmember{}  dom(ps).
        \mSigma{}y  \mmember{}  dom(qs  ++  rs).
          (when  (x  *  y)  =\msubb{}  u.
                ((ps[x])  *  ((qs[y])  +a  (rs[y])))))
=  ((\mSigma{}x  \mmember{}  dom(ps).
          \mSigma{}y  \mmember{}  dom(qs).
            (when  (x  *  y)  =\msubb{}  u.
                  ((ps[x])  *  (qs[y])))) 
      +a 
      (\mSigma{}x  \mmember{}  dom(ps).
          \mSigma{}y  \mmember{}  dom(rs).
            (when  (x  *  y)  =\msubb{}  u.
                  ((ps[x])  *  (rs[y])))))


By

---

Latex:
\%  equalize  domains  of  summation  \% 
 
((RWNs  [2;4;6]  (LemmaWithC  [`q',dom(qs)  \mcup{}  dom(rs)] 
                `mset\_for\_dom\_shift`)  0 
THENM  Fold  `rng\_mssum`  0)  THENA  Auto) 

---

Home Index