Proof of Nuprl Lemma : hp-angle-sum-eq-straight-angle

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma hp-angle-sum-eq-straight-angle

1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc ≅_a ijp1
19. kjp1 ≅_a xyz
20. j_p2_p1
21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
25. p' : Point
26. d' : Point
27. f' : Point
28. abc ≅_a i'j'p
29. k'j'p ≅_a xyz
30. j'_p'_p
31. out(j' i'd')
32. out(j' k'f')
33. d'-p'-f'
34. i-j-k
35. i' ≠ j'
36. j' ≠ k'
37. x # yz
38. a' : Point
39. c' : Point
40. out(j' a'i')
41. out(j' c'p)
42. a'j'c' ≅_a ijp1
43. Cong3(a'j'c',ijp1)
44. K : Point
45. a'-j'-K
46. j'K ≅ jk
47. Kc' ≅ kp1
48. K ≠ c'
49. Kj'c' ≅_a xyz
⊢ i'_j'_k'
BY
{ (((Assert j' ≠ p' ⇒ out(j' pp') BY
           (Auto THEN D 0 THEN Auto))
    THEN (gProperProlong ⌜a'⌝⌜j'⌝`k\'\''⌜j'⌝⌜k'⌝⋅ THENA Auto)
    THEN (Assert out(j' Kk'') BY

                ((InstLemma  `geo-out-iff-between1` [⌜e⌝;⌜j'⌝;⌜k''⌝;⌜K⌝;⌜a'⌝]⋅ THEN Auto) THEN D -2 THEN EAuto 1)))

THEN (Assert K # j'p BY

               ((InstLemma  `cong-angle-preserves-lsep_strong` [⌜e⌝;⌜K⌝;⌜j'⌝;⌜c'⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜z⌝]⋅ THENA Auto)

                THEN InstLemma `colinear-lsep` [⌜e⌝;⌜c'⌝;⌜j'⌝;⌜K⌝;⌜p⌝]⋅
                THEN Auto))
   THEN (Assert k' # j'p BY

               (InstLemma  `cong-angle-preserves-lsep_strong` [⌜e⌝;⌜k'⌝;⌜j'⌝;⌜p⌝;⌜x⌝;⌜y⌝;⌜z⌝]⋅ THEN Auto))) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc ≅_a ijp1
19. kjp1 ≅_a xyz
20. j_p2_p1
21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
25. p' : Point
26. d' : Point
27. f' : Point
28. abc ≅_a i'j'p
29. k'j'p ≅_a xyz
30. j'_p'_p
31. out(j' i'd')
32. out(j' k'f')
33. d'-p'-f'
34. i-j-k
35. i' ≠ j'
36. j' ≠ k'
37. x # yz
38. a' : Point
39. c' : Point
40. out(j' a'i')
41. out(j' c'p)
42. a'j'c' ≅_a ijp1
43. Cong3(a'j'c',ijp1)
44. K : Point
45. a'-j'-K
46. j'K ≅ jk
47. Kc' ≅ kp1
48. K ≠ c'
49. Kj'c' ≅_a xyz
50. j' ≠ p' ⇒ out(j' pp')
51. k'' : Point
52. a'-j'-k'' ∧ j'k'' ≅ j'k'
53. out(j' Kk'')
54. K # j'p
55. k' # j'p
⊢ i'_j'_k'

Latex:

Latex:
1. e : EuclideanPlane 2. a : Point 3. b : Point 4. c : Point 5. x : Point 6. y : Point 7. z : Point 8. i : Point 9. j : Point 10. k : Point 11. i' : Point 12. j' : Point 13. k' : Point 14. p1 : Point 15. p2 : Point 16. d1 : Point 17. f1 : Point 18. abc \mcong{}\msuba{} ijp1 19. kjp1 \mcong{}\msuba{} xyz 20. j\_p2\_p1 21. out(j id1) 22. out(j kf1) 23. d1-p2-f1 24. p : Point 25. p' : Point 26. d' : Point 27. f' : Point 28. abc \mcong{}\msuba{} i'j'p 29. k'j'p \mcong{}\msuba{} xyz 30. j'\_p'\_p 31. out(j' i'd') 32. out(j' k'f') 33. d'-p'-f' 34. i-j-k 35. i' \mneq{} j' 36. j' \mneq{} k' 37. x \# yz 38. a' : Point 39. c' : Point 40. out(j' a'i') 41. out(j' c'p) 42. a'j'c' \mcong{}\msuba{} ijp1 43. Cong3(a'j'c',ijp1) 44. K : Point 45. a'-j'-K 46. j'K \mcong{} jk 47. Kc' \mcong{} kp1 48. K \mneq{} c' 49. Kj'c' \mcong{}\msuba{} xyz \mvdash{} i'\_j'\_k' By Latex: (((Assert j' \mneq{} p' {}\mRightarrow{} out(j' pp') BY (Auto THEN D 0 THEN Auto)) THEN (gProperProlong \mkleeneopen{}a'\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{}`k\mbackslash{}'\mbackslash{}''\mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}k'\mkleeneclose{}\mcdot{} THENA Auto) THEN (Assert out(j' Kk'') BY ((InstLemma `geo-out-iff-between1` [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k''\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a'\mkleeneclose{}]\mcdot{} THEN Auto) THEN D -2 THEN EAuto 1))) THEN (Assert K \# j'p BY ((InstLemma `cong-angle-preserves-lsep\_strong` [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]\mcdot{} THENA Auto ) THEN InstLemma `colinear-lsep` [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}]\mcdot{} THEN Auto)) THEN (Assert k' \# j'p BY (InstLemma `cong-angle-preserves-lsep\_strong` [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]\mcdot{} THEN Auto ))) Home Index