Step
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1
of Lemma
hp-angle-sum-eq-straight-angle
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc ≅a ijp1
19. kjp1 ≅a xyz
20. j_p2_p1
21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
25. p' : Point
26. d' : Point
27. f' : Point
28. abc ≅a i'j'p
29. k'j'p ≅a xyz
30. j'_p'_p
31. out(j' i'd')
32. out(j' k'f')
33. d'-p'-f'
34. i-j-k
35. i' ≠ j'
36. j' ≠ k'
37. x # yz
38. a' : Point
39. c' : Point
40. out(j' a'i')
41. out(j' c'p)
42. a'j'c' ≅a ijp1
43. Cong3(a'j'c',ijp1)
44. K : Point
45. a'-j'-K
46. j'K ≅ jk
47. Kc' ≅ kp1
48. K ≠ c'
49. Kj'c' ≅a xyz
50. j' ≠ p' ⇒ out(j' pp')
51. k'' : Point
52. a'-j'-k'' ∧ j'k'' ≅ j'k'
53. out(j' Kk'')
54. K # j'p
55. k' # j'p
⊢ i'_j'_k'
BY
{ (D -1 THEN D -2) }
1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc ≅a ijp1
19. kjp1 ≅a xyz
20. j_p2_p1
21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
25. p' : Point
26. d' : Point
27. f' : Point
28. abc ≅a i'j'p
29. k'j'p ≅a xyz
30. j'_p'_p
31. out(j' i'd')
32. out(j' k'f')
33. d'-p'-f'
34. i-j-k
35. i' ≠ j'
36. j' ≠ k'
37. x # yz
38. a' : Point
39. c' : Point
40. out(j' a'i')
41. out(j' c'p)
42. a'j'c' ≅a ijp1
43. Cong3(a'j'c',ijp1)
44. K : Point
45. a'-j'-K
46. j'K ≅ jk
47. Kc' ≅ kp1
48. K ≠ c'
49. Kj'c' ≅a xyz
50. j' ≠ p' ⇒ out(j' pp')
51. k'' : Point
52. a'-j'-k'' ∧ j'k'' ≅ j'k'
53. out(j' Kk'')
54. K leftof j'p
55. k' leftof j'p
⊢ i'_j'_k'
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1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc ≅a ijp1
19. kjp1 ≅a xyz
20. j_p2_p1
21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
25. p' : Point
26. d' : Point
27. f' : Point
28. abc ≅a i'j'p
29. k'j'p ≅a xyz
30. j'_p'_p
31. out(j' i'd')
32. out(j' k'f')
33. d'-p'-f'
34. i-j-k
35. i' ≠ j'
36. j' ≠ k'
37. x # yz
38. a' : Point
39. c' : Point
40. out(j' a'i')
41. out(j' c'p)
42. a'j'c' ≅a ijp1
43. Cong3(a'j'c',ijp1)
44. K : Point
45. a'-j'-K
46. j'K ≅ jk
47. Kc' ≅ kp1
48. K ≠ c'
49. Kj'c' ≅a xyz
50. j' ≠ p' ⇒ out(j' pp')
51. k'' : Point
52. a'-j'-k'' ∧ j'k'' ≅ j'k'
53. out(j' Kk'')
54. K leftof pj'
55. k' leftof j'p
⊢ i'_j'_k'
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1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc ≅a ijp1
19. kjp1 ≅a xyz
20. j_p2_p1
21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
25. p' : Point
26. d' : Point
27. f' : Point
28. abc ≅a i'j'p
29. k'j'p ≅a xyz
30. j'_p'_p
31. out(j' i'd')
32. out(j' k'f')
33. d'-p'-f'
34. i-j-k
35. i' ≠ j'
36. j' ≠ k'
37. x # yz
38. a' : Point
39. c' : Point
40. out(j' a'i')
41. out(j' c'p)
42. a'j'c' ≅a ijp1
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44. K : Point
45. a'-j'-K
46. j'K ≅ jk
47. Kc' ≅ kp1
48. K ≠ c'
49. Kj'c' ≅a xyz
50. j' ≠ p' ⇒ out(j' pp')
51. k'' : Point
52. a'-j'-k'' ∧ j'k'' ≅ j'k'
53. out(j' Kk'')
54. K leftof j'p
55. k' leftof pj'
⊢ i'_j'_k'
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1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc ≅a ijp1
19. kjp1 ≅a xyz
20. j_p2_p1
21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
25. p' : Point
26. d' : Point
27. f' : Point
28. abc ≅a i'j'p
29. k'j'p ≅a xyz
30. j'_p'_p
31. out(j' i'd')
32. out(j' k'f')
33. d'-p'-f'
34. i-j-k
35. i' ≠ j'
36. j' ≠ k'
37. x # yz
38. a' : Point
39. c' : Point
40. out(j' a'i')
41. out(j' c'p)
42. a'j'c' ≅a ijp1
43. Cong3(a'j'c',ijp1)
44. K : Point
45. a'-j'-K
46. j'K ≅ jk
47. Kc' ≅ kp1
48. K ≠ c'
49. Kj'c' ≅a xyz
50. j' ≠ p' ⇒ out(j' pp')
51. k'' : Point
52. a'-j'-k'' ∧ j'k'' ≅ j'k'
53. out(j' Kk'')
54. K leftof pj'
55. k' leftof pj'
⊢ i'_j'_k'
Latex:
Latex:
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. x : Point
6. y : Point
7. z : Point
8. i : Point
9. j : Point
10. k : Point
11. i' : Point
12. j' : Point
13. k' : Point
14. p1 : Point
15. p2 : Point
16. d1 : Point
17. f1 : Point
18. abc \mcong{}\msuba{} ijp1
19. kjp1 \mcong{}\msuba{} xyz
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21. out(j id1)
22. out(j kf1)
23. d1-p2-f1
24. p : Point
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26. d' : Point
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37. x \# yz
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55. k' \# j'p
\mvdash{} i'\_j'\_k'
By
Latex:
(D -1 THEN D -2)
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