---

Step * 1 1 1 of Lemma ip-inner-Pasch1


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. r0 ≤ t
12. t ≤ r1
13. q ≡ t*b + r1 - t*c
14. s : ℝ
15. r0 ≤ s
16. s ≤ r1
17. p ≡ s*a + r1 - s*c
18. s < r1
19. r0 < (r1 - s * t)
⊢ ∃x:Point
   (a_x_q
   ∧ b_x_p
   ∧ (a # q ⇒ x # a)
   ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
   ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
   ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p))
BY
{ ((Assert (t - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1] BY
          (Reduce 0
           THEN D 0
           THEN (nRMul ⌜r1 - s * t⌝ 0⋅ THEN Auto)
           THEN (GenConclTerm ⌜s * t⌝⋅ THENA Auto)
           THEN nRAdd ⌜v⌝ 0⋅
           THEN Auto
           THEN (RWO "-1<" 0 THENA Auto)
           THEN nRMul ⌜t⌝ 16⋅
           THEN Auto
           THEN nRNorm (-1)
           THEN Auto))
   THEN (Assert (s - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1) BY
               (Reduce 0
                THEN D 0
                THEN (nRMul ⌜r1 - s * t⌝ 0⋅ THEN Auto)
                THEN (GenConclTerm ⌜s * t⌝⋅ THENA Auto)
                THEN nRAdd ⌜v⌝ 0⋅
                THEN Auto
                THEN (RWO "-1<" 0 THENA Auto)
                THEN nRMul ⌜s⌝ 12⋅
                THEN Auto
                THEN nRNorm (-1)
                THEN Auto))
   ) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. r0 ≤ t
12. t ≤ r1
13. q ≡ t*b + r1 - t*c
14. s : ℝ
15. r0 ≤ s
16. s ≤ r1
17. p ≡ s*a + r1 - s*c
18. s < r1
19. r0 < (r1 - s * t)
20. (t - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1]
21. (s - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1)
⊢ ∃x:Point
   (a_x_q
   ∧ b_x_p
   ∧ (a # q ⇒ x # a)
   ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
   ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
   ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  p  :  Point
6.  q  :  Point
7.  a  \#  p
8.  b  \#  c
9.  a  \#  c
10.  t  :  \mBbbR{}
11.  r0  \mleq{}  t
12.  t  \mleq{}  r1
13.  q  \mequiv{}  t*b  +  r1  -  t*c
14.  s  :  \mBbbR{}
15.  r0  \mleq{}  s
16.  s  \mleq{}  r1
17.  p  \mequiv{}  s*a  +  r1  -  s*c
18.  s  <  r1
19.  r0  <  (r1  -  s  *  t)
\mvdash{}  \mexists{}x:Point
      (a\_x\_q
      \mwedge{}  b\_x\_p
      \mwedge{}  (a  \#  q  {}\mRightarrow{}  x  \#  a)
      \mwedge{}  ((a  \#  q  \mwedge{}  p  \#  c  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  q)
      \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  b)
      \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  q  \#  c)  {}\mRightarrow{}  x  \#  p))


By

---

Latex:
((Assert  (t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  [r0,  r1]  BY
                (Reduce  0
                  THEN  D  0
                  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
                  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  Auto
                  THEN  (RWO  "-1<"  0  THENA  Auto)
                  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}t\mkleeneclose{}  16\mcdot{}
                  THEN  Auto
                  THEN  nRNorm  (-1)
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  (s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  [r0,  r1)  BY
                          (Reduce  0
                            THEN  D  0
                            THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  (RWO  "-1<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}  12\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  nRNorm  (-1)
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index