---

Step * 1 1 1 1 of Lemma ip-inner-Pasch1


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. r0 ≤ t
12. t ≤ r1
13. q ≡ t*b + r1 - t*c
14. s : ℝ
15. r0 ≤ s
16. s ≤ r1
17. p ≡ s*a + r1 - s*c
18. s < r1
19. r0 < (r1 - s * t)
20. (t - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1]
21. (s - s * t/r1 - s * t) ∈ [r0, r1)
⊢ ∃x:Point
   (a_x_q
   ∧ b_x_p
   ∧ (a # q ⇒ x # a)
   ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
   ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
   ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p))
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜(t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ((r1 - u) * s) = v BY
               ((RWO "-1< -3<" 0 THENA Auto)
                THEN MoveToConcl (-6)
                THEN (GenConclTerm ⌜r1 - s * t⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Auto
                THEN nRMul ⌜v1⌝ 0⋅
                THEN (RWO "-2<" 0 THENA Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto))
   THEN (Assert ((r1 - v) * t) = u BY
               ((RWO "-2< -4<" 0 THENA Auto)
                THEN MoveToConcl (-6)
                THEN (GenConclTerm ⌜r1 - s * t⌝⋅ THENA Auto)
                THEN Auto
                THEN nRMul ⌜v1⌝ 0⋅
                THEN (RWO "-2<" 0 THENA Auto)
                THEN nRNorm 0
                THEN Auto))) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. p : Point
6. q : Point
7. a # p
8. b # c
9. a # c
10. t : ℝ
11. r0 ≤ t
12. t ≤ r1
13. q ≡ t*b + r1 - t*c
14. s : ℝ
15. r0 ≤ s
16. s ≤ r1
17. p ≡ s*a + r1 - s*c
18. s < r1
19. r0 < (r1 - s * t)
20. u : ℝ
21. (t - s * t/r1 - s * t) = u ∈ ℝ
22. v : ℝ
23. (s - s * t/r1 - s * t) = v ∈ ℝ
24. ((r1 - u) * s) = v
25. ((r1 - v) * t) = u
⊢ (u ∈ [r0, r1])
⇒ (v ∈ [r0, r1))
⇒ (∃x:Point
     (a_x_q
     ∧ b_x_p
     ∧ (a # q ⇒ x # a)
     ∧ ((a # q ∧ p # c ∧ b # q) ⇒ x # q)
     ∧ ((b # p ∧ b # q) ⇒ x # b)
     ∧ ((b # p ∧ q # c) ⇒ x # p)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  p  :  Point
6.  q  :  Point
7.  a  \#  p
8.  b  \#  c
9.  a  \#  c
10.  t  :  \mBbbR{}
11.  r0  \mleq{}  t
12.  t  \mleq{}  r1
13.  q  \mequiv{}  t*b  +  r1  -  t*c
14.  s  :  \mBbbR{}
15.  r0  \mleq{}  s
16.  s  \mleq{}  r1
17.  p  \mequiv{}  s*a  +  r1  -  s*c
18.  s  <  r1
19.  r0  <  (r1  -  s  *  t)
20.  (t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  [r0,  r1]
21.  (s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  \mmember{}  [r0,  r1)
\mvdash{}  \mexists{}x:Point
      (a\_x\_q
      \mwedge{}  b\_x\_p
      \mwedge{}  (a  \#  q  {}\mRightarrow{}  x  \#  a)
      \mwedge{}  ((a  \#  q  \mwedge{}  p  \#  c  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  q)
      \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  b  \#  q)  {}\mRightarrow{}  x  \#  b)
      \mwedge{}  ((b  \#  p  \mwedge{}  q  \#  c)  {}\mRightarrow{}  x  \#  p))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(t  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  u\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(s  -  s  *  t/r1  -  s  *  t)  =  v\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ((r1  -  u)  *  s)  =  v  BY
                          ((RWO  "-1<  -3<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  MoveToConcl  (-6)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (RWO  "-2<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  ((r1  -  v)  *  t)  =  u  BY
                          ((RWO  "-2<  -4<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  MoveToConcl  (-6)
                            THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}r1  -  s  *  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  (RWO  "-2<"  0  THENA  Auto)
                            THEN  nRNorm  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index