---

Step * 2 1 1 of Lemma rless_ibs_property


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. λn.if (∃m∈upto(n + 1).(x (m + 1)) + 4 <z y (m + 1))_b then 1 else 0 fi  ∈ IBS
4. n : ℕ
5. ¬(∃m∈upto(n + 1). (x (m + 1)) + 4 < y (m + 1))
6. |x - (x within 1/n + 1)| ≤ (r1/r(n + 1))
7. |y - (y within 1/n + 1)| ≤ (r1/r(n + 1))
⊢ (0 = 0 ∈ ℤ)
⇒ (((y < x) ∧ (∀m:ℕ. (if (∃m∈upto(m + 1).(x (m + 1)) + 4 <z y (m + 1))_b then 1 else 0 fi  = 0 ∈ ℤ)))
   ∨ (|x - y| ≤ (r(4)/r(n + 1))))
BY
{ (Assert |x - y| ≤ ((r(2)/r(n + 1)) + |(x within 1/n + 1) - (y within 1/n + 1)|) BY
         UseTriangleInequality [⌜(x within 1/n + 1)⌝;⌜(y within 1/n + 1)⌝]⋅) }

1
.....aux..... 
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. λn.if (∃m∈upto(n + 1).(x (m + 1)) + 4 <z y (m + 1))_b then 1 else 0 fi  ∈ IBS
4. n : ℕ
5. ¬(∃m∈upto(n + 1). (x (m + 1)) + 4 < y (m + 1))
6. |x - (x within 1/n + 1)| ≤ (r1/r(n + 1))
7. |(y within 1/n + 1) - y| ≤ (r1/r(n + 1))
⊢ ((r1/r(n + 1)) + |(x within 1/n + 1) - (y within 1/n + 1)| + (r1/r(n + 1))) ≤ ((r(2)/r(n + 1))
+ |(x within 1/n + 1) - (y within 1/n + 1)|)

2
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. λn.if (∃m∈upto(n + 1).(x (m + 1)) + 4 <z y (m + 1))_b then 1 else 0 fi  ∈ IBS
4. n : ℕ
5. ¬(∃m∈upto(n + 1). (x (m + 1)) + 4 < y (m + 1))
6. |x - (x within 1/n + 1)| ≤ (r1/r(n + 1))
7. |y - (y within 1/n + 1)| ≤ (r1/r(n + 1))
8. |x - y| ≤ ((r(2)/r(n + 1)) + |(x within 1/n + 1) - (y within 1/n + 1)|)
⊢ (0 = 0 ∈ ℤ)
⇒ (((y < x) ∧ (∀m:ℕ. (if (∃m∈upto(m + 1).(x (m + 1)) + 4 <z y (m + 1))_b then 1 else 0 fi  = 0 ∈ ℤ)))
   ∨ (|x - y| ≤ (r(4)/r(n + 1))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mlambda{}n.if  (\mexists{}m\mmember{}upto(n  +  1).(x  (m  +  1))  +  4  <z  y  (m  +  1))\_b  then  1  else  0  fi    \mmember{}  IBS
4.  n  :  \mBbbN{}
5.  \mneg{}(\mexists{}m\mmember{}upto(n  +  1).  (x  (m  +  1))  +  4  <  y  (m  +  1))
6.  |x  -  (x  within  1/n  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(n  +  1))
7.  |y  -  (y  within  1/n  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(n  +  1))
\mvdash{}  (0  =  0)
{}\mRightarrow{}  (((y  <  x)  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  (if  (\mexists{}m\mmember{}upto(m  +  1).(x  (m  +  1))  +  4  <z  y  (m  +  1))\_b  then  1  else  0  fi    =  0)))
      \mvee{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (r(4)/r(n  +  1))))


By

---

Latex:
(Assert  |x  -  y|  \mleq{}  ((r(2)/r(n  +  1))  +  |(x  within  1/n  +  1)  -  (y  within  1/n  +  1)|)  BY
              UseTriangleInequality  [\mkleeneopen{}(x  within  1/n  +  1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(y  within  1/n  +  1)\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index