---

Step * 1 1 1 1 1 3 1 1 of Lemma Riemann-sums-cauchy


1. a : ℝ@i
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} @i
3. f : [a, b] ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
5. n : ℕ+@i
6. r0 ≤ (b - a)
7. r0 ≤ (r(2 * n) * (b - a))
8. m : ℕ+
9. |r(2 * n) * (b - a)| ≤ r(m)
10. (mc 1 m) = (mc 1 m) ∈ ℝ
11. r0 < (mc 1 m)
12. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (y ∈ [a, b]) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 m)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(m))))
13. r0 < (b - a)
14. a < b
15. N : ℕ+
16. (b - a/mc 1 m) ≤ r(N)
17. k : ℕ@i
18. m1 : ℕ@i
19. (N - 1) ≤ k@i
20. (N - 1) ≤ m1@i
21. |Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m1 + 1)| ≤ ((r(2)/r(m)) * (b - a))
⊢ (((r(2) * r(n)) * (b - a)) ≤ r(m)) ⇒ (((r(2)/r(m)) * (b - a)) ≤ (r1/r(n)))
BY
{ ((GenConcl ⌜r(n) = x ∈ {x:ℝ| r0 < x} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜r(m) = y ∈ {x:ℝ| r0 < x} ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(b - a) = z ∈ {x:ℝ| r0 < x} ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. a : ℝ@i
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} @i
3. f : [a, b] ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
5. n : ℕ+@i
6. r0 ≤ (b - a)
7. r0 ≤ (r(2 * n) * (b - a))
8. m : ℕ+
9. |r(2 * n) * (b - a)| ≤ r(m)
10. (mc 1 m) = (mc 1 m) ∈ ℝ
11. r0 < (mc 1 m)
12. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (y ∈ [a, b]) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 m)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(m))))
13. r0 < (b - a)
14. a < b
15. N : ℕ+
16. (b - a/mc 1 m) ≤ r(N)
17. k : ℕ@i
18. m1 : ℕ@i
19. (N - 1) ≤ k@i
20. (N - 1) ≤ m1@i
21. |Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m1 + 1)| ≤ ((r(2)/r(m)) * (b - a))
22. x : {x:ℝ| r0 < x} @i
23. r(n) = x ∈ {x:ℝ| r0 < x} @i
24. y : {x:ℝ| r0 < x} @i
25. r(m) = y ∈ {x:ℝ| r0 < x} @i
26. z : {x:ℝ| r0 < x} @i
27. (b - a) = z ∈ {x:ℝ| r0 < x} @i
⊢ (((r(2) * x) * z) ≤ y) ⇒ (((r(2)/y) * z) ≤ (r1/x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}@i
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\}  @i
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]@i
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
6.  r0  \mleq{}  (b  -  a)
7.  r0  \mleq{}  (r(2  *  n)  *  (b  -  a))
8.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  |r(2  *  n)  *  (b  -  a)|  \mleq{}  r(m)
10.  (mc  1  m)  =  (mc  1  m)
11.  r0  <  (mc  1  m)
12.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (mc  1  m))  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(m))))
13.  r0  <  (b  -  a)
14.  a  <  b
15.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
16.  (b  -  a/mc  1  m)  \mleq{}  r(N)
17.  k  :  \mBbbN{}@i
18.  m1  :  \mBbbN{}@i
19.  (N  -  1)  \mleq{}  k@i
20.  (N  -  1)  \mleq{}  m1@i
21.  |Riemann-sum(f;a;b;k  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m1  +  1)|  \mleq{}  ((r(2)/r(m))  *  (b  -  a))
\mvdash{}  (((r(2)  *  r(n))  *  (b  -  a))  \mleq{}  r(m))  {}\mRightarrow{}  (((r(2)/r(m))  *  (b  -  a))  \mleq{}  (r1/r(n)))


By

---

Latex:
((GenConcl  \mkleeneopen{}r(n)  =  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}r(m)  =  y\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(b  -  a)  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index