---

Step * 2 1 1 of Lemma least-upper-bound

.....assertion..... 
1. [A] : Set(ℝ)
2. a : ℝ
3. a ∈ A
4. bounded-above(A)
5. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
⊢ ∃b:ℝ. (b ∈ closure(A) ∧ b ∈ closure(strict-upper-bounds(A)))
BY
{ (BLemma `closures-meet` THEN Auto) }

1
1. [A] : Set(ℝ)
2. a : ℝ
3. a ∈ A
4. bounded-above(A)
5. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
⊢ ∃a,b:ℝ. ((A a) ∧ (strict-upper-bounds(A) b) ∧ (a ≤ b))

2
1. [A] : Set(ℝ)
2. a : ℝ
3. a ∈ A
4. bounded-above(A)
5. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
⊢ ∃c:ℝ
   (((r0 ≤ c) ∧ (c < r1))
   ∧ (∀a,b:ℝ.
        (((A a) ∧ (strict-upper-bounds(A) b) ∧ (a ≤ b))
        ⇒ (∃a',b':ℝ
             ((A a') ∧ (strict-upper-bounds(A) b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [A]  :  Set(\mBbbR{})
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  a  \mmember{}  A
4.  bounded-above(A)
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}a:\mBbbR{}.  ((a  \mmember{}  A)  \mwedge{}  (x  <  a)))  \mvee{}  A  \mleq{}  y))
\mvdash{}  \mexists{}b:\mBbbR{}.  (b  \mmember{}  closure(A)  \mwedge{}  b  \mmember{}  closure(strict-upper-bounds(A)))


By

---

Latex:
(BLemma  `closures-meet`  THEN  Auto)

---

Home Index