---

Step * 2 1 1 2 of Lemma least-upper-bound


1. [A] : Set(ℝ)
2. a : ℝ
3. a ∈ A
4. bounded-above(A)
5. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((a ∈ A) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
⊢ ∃c:ℝ
   (((r0 ≤ c) ∧ (c < r1))
   ∧ (∀a,b:ℝ.
        (((A a) ∧ (strict-upper-bounds(A) b) ∧ (a ≤ b))
        ⇒ (∃a',b':ℝ
             ((A a') ∧ (strict-upper-bounds(A) b') ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * c)))))))
BY
{ (RepeatFor 3 ((Thin (-2)))
   THEN ((InstConcl [⌜(r(2)/r(3))⌝])⋅ THENA Auto)
   THEN (All (RepUR ``rset rset-member strict-upper-bounds``))
   THEN (D 0 THENL [Auto; Auto]))⋅ }

1
1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Set(\mBbbR{})
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  a  \mmember{}  A
4.  bounded-above(A)
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}a:\mBbbR{}.  ((a  \mmember{}  A)  \mwedge{}  (x  <  a)))  \mvee{}  A  \mleq{}  y))
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}
      (((r0  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  <  r1))
      \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbR{}.
                (((A  a)  \mwedge{}  (strict-upper-bounds(A)  b)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b))
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                          ((A  a')
                          \mwedge{}  (strict-upper-bounds(A)  b')
                          \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')
                          \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')
                          \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)
                          \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  c)))))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  3  ((Thin  (-2)))
  THEN  ((InstConcl  [\mkleeneopen{}(r(2)/r(3))\mkleeneclose{}])\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (All  (RepUR  ``rset  rset-member  strict-upper-bounds``))
  THEN  (D  0  THENL  [Auto;  Auto]))\mcdot{}

---

Home Index