---

Step * 2 1 1 2 1 of Lemma least-upper-bound


1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))
BY
{ Assert ⌜∃a',b':ℝ
           (((a' < b') ∧ (a < a') ∧ (b' < b))
           ∧ ((b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3))))
           ∧ ((b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
⊢ ∃a',b':ℝ
   (((a' < b') ∧ (a < a') ∧ (b' < b)) ∧ ((b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3)))) ∧ ((b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))))

2
1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
8. ∃a',b':ℝ
    (((a' < b') ∧ (a < a') ∧ (b' < b)) ∧ ((b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3)))) ∧ ((b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))))
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \{A:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}|  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (A  x)  {}\mRightarrow{}  (A  y))\} 
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}a:\mBbbR{}.  ((A  a)  \mwedge{}  (x  <  a)))  \mvee{}  A  \mleq{}  y))
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbR{}
5.  A  a
6.  A  <  b
7.  a  \mleq{}  b
\mvdash{}  \mexists{}a',b':\mBbbR{}
      ((A  a')  \mwedge{}  A  <  b'  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3)))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}a',b':\mBbbR{}
                  (((a'  <  b')  \mwedge{}  (a  <  a')  \mwedge{}  (b'  <  b))
                  \mwedge{}  ((b  -  a')  =  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3))))
                  \mwedge{}  ((b'  -  a)  =  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3)))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index