---

Step * 2 1 1 2 1 2 of Lemma least-upper-bound


1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
8. ∃a',b':ℝ
    (((a' < b') ∧ (a < a') ∧ (b' < b)) ∧ ((b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3)))) ∧ ((b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))))
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))
BY
{ (ExRepD
   THEN (Assert ∃c:ℝ. ((a' < c) ∧ (c < b')) BY
               (InstConcl [⌜(b' + a'/r(2))⌝]⋅
                THEN Auto
                THEN nRMul ⌜r(2)⌝ 0⋅
                THEN Auto
                THEN ((nRSubtract ⌜a'⌝ 0⋅ THEN Complete (Auto))⋅ ORELSE (nRSubtract ⌜b'⌝ 0⋅ THEN Auto)⋅)))
   ) }

1
1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
8. a' : ℝ
9. b' : ℝ
10. a' < b'
11. a < a'
12. b' < b
13. (b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
14. (b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
15. ∃c:ℝ. ((a' < c) ∧ (c < b'))
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \{A:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}|  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (A  x)  {}\mRightarrow{}  (A  y))\} 
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}a:\mBbbR{}.  ((A  a)  \mwedge{}  (x  <  a)))  \mvee{}  A  \mleq{}  y))
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbR{}
5.  A  a
6.  A  <  b
7.  a  \mleq{}  b
8.  \mexists{}a',b':\mBbbR{}
        (((a'  <  b')  \mwedge{}  (a  <  a')  \mwedge{}  (b'  <  b))
        \mwedge{}  ((b  -  a')  =  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3))))
        \mwedge{}  ((b'  -  a)  =  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3)))))
\mvdash{}  \mexists{}a',b':\mBbbR{}
      ((A  a')  \mwedge{}  A  <  b'  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3)))))


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (Assert  \mexists{}c:\mBbbR{}.  ((a'  <  c)  \mwedge{}  (c  <  b'))  BY
                          (InstConcl  [\mkleeneopen{}(b'  +  a'/r(2))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(2)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  ((nRSubtract  \mkleeneopen{}a'\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto))\mcdot{}
                            ORELSE  (nRSubtract  \mkleeneopen{}b'\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}
                            )))
  )

---

Home Index