---

Step * 2 1 1 2 1 2 1 of Lemma least-upper-bound


1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
8. a' : ℝ
9. b' : ℝ
10. a' < b'
11. a < a'
12. b' < b
13. (b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
14. (b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
15. ∃c:ℝ. ((a' < c) ∧ (c < b'))
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))
BY
{ (ExRepD THEN ((FHyp 2 [-2]) THENA Auto) THEN D -1 THEN ExRepD) }

1
1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
8. a' : ℝ
9. b' : ℝ
10. a' < b'
11. a < a'
12. b' < b
13. (b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
14. (b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
15. c : ℝ
16. a' < c
17. c < b'
18. a1 : ℝ
19. A a1
20. a' < a1
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))

2
1. [A] : {A:ℝ ⟶ ℙ| ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (A x) ⇒ (A y))} 
2. ∀x,y:ℝ.  ((x < y) ⇒ ((∃a:ℝ. ((A a) ∧ (x < a))) ∨ A ≤ y))
3. a : ℝ
4. b : ℝ
5. A a
6. A < b
7. a ≤ b
8. a' : ℝ
9. b' : ℝ
10. a' < b'
11. a < a'
12. b' < b
13. (b - a') = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
14. (b' - a) = ((b - a) * (r(2)/r(3)))
15. c : ℝ
16. a' < c
17. c < b'
18. A ≤ c
⊢ ∃a',b':ℝ. ((A a') ∧ A < b' ∧ (a ≤ a') ∧ (a' ≤ b') ∧ (b' ≤ b) ∧ ((b' - a') ≤ ((b - a) * (r(2)/r(3)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  \{A:\mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}|  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (A  x)  {}\mRightarrow{}  (A  y))\} 
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  <  y)  {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}a:\mBbbR{}.  ((A  a)  \mwedge{}  (x  <  a)))  \mvee{}  A  \mleq{}  y))
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  b  :  \mBbbR{}
5.  A  a
6.  A  <  b
7.  a  \mleq{}  b
8.  a'  :  \mBbbR{}
9.  b'  :  \mBbbR{}
10.  a'  <  b'
11.  a  <  a'
12.  b'  <  b
13.  (b  -  a')  =  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3)))
14.  (b'  -  a)  =  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3)))
15.  \mexists{}c:\mBbbR{}.  ((a'  <  c)  \mwedge{}  (c  <  b'))
\mvdash{}  \mexists{}a',b':\mBbbR{}
      ((A  a')  \mwedge{}  A  <  b'  \mwedge{}  (a  \mleq{}  a')  \mwedge{}  (a'  \mleq{}  b')  \mwedge{}  (b'  \mleq{}  b)  \mwedge{}  ((b'  -  a')  \mleq{}  ((b  -  a)  *  (r(2)/r(3)))))


By

---

Latex:
(ExRepD  THEN  ((FHyp  2  [-2])  THENA  Auto)  THEN  D  -1  THEN  ExRepD)

---

Home Index