---

Step * 1 1 1 1 of Lemma real-subset-connected-lemma

.....assertion..... 
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
⊢ ∀u,v:{x:ℝ| X x} .
    ((u < v)
    ⇒ (∃p:{x:ℝ| X x} 
         (((u < p) ∧ (p < v)) ∧ ((p - u) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))) ∧ ((v - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))))))
BY
{ (Auto
   THEN (D 2 With ⌜((r(2) * u) + v/r(3))⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 With ⌜(u + (r(2) * v)/r(3))⌝  THENA Auto)
   THEN (D -1 THENA (nRMul ⌜r(3)⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN ParallelLast
   THEN Auto
   THEN (nRMul ⌜r(3)⌝ 0⋅ THENA Auto)) }

1
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
3. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
5. a0 : {x:ℝ| X x} 
6. b0 : {x:ℝ| X x} 
7. ↑(a a0)
8. ↑(b b0)
9. a0 < b0
10. u : {x:ℝ| X x} 
11. v : {x:ℝ| X x} 
12. u < v
13. x : ℝ
14. ((r(2) * u) + v/r(3)) < x
15. x < (u + (r(2) * v)/r(3))
16. X x
⊢ (r(3) * u) < (r(3) * x)

2
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
3. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
5. a0 : {x:ℝ| X x} 
6. b0 : {x:ℝ| X x} 
7. ↑(a a0)
8. ↑(b b0)
9. a0 < b0
10. u : {x:ℝ| X x} 
11. v : {x:ℝ| X x} 
12. u < v
13. x : ℝ
14. ((r(2) * u) + v/r(3)) < x
15. x < (u + (r(2) * v)/r(3))
16. X x
17. u < x
⊢ (r(3) * x) < (r(3) * v)

3
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
3. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
5. a0 : {x:ℝ| X x} 
6. b0 : {x:ℝ| X x} 
7. ↑(a a0)
8. ↑(b b0)
9. a0 < b0
10. u : {x:ℝ| X x} 
11. v : {x:ℝ| X x} 
12. u < v
13. x : ℝ
14. ((r(2) * u) + v/r(3)) < x
15. x < (u + (r(2) * v)/r(3))
16. X x
17. u < x
18. x < v
⊢ ((r(-3) * u) + (r(3) * x)) ≤ ((r(-2) * u) + (r(2) * v))

4
1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
3. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
5. a0 : {x:ℝ| X x} 
6. b0 : {x:ℝ| X x} 
7. ↑(a a0)
8. ↑(b b0)
9. a0 < b0
10. u : {x:ℝ| X x} 
11. v : {x:ℝ| X x} 
12. u < v
13. x : ℝ
14. ((r(2) * u) + v/r(3)) < x
15. x < (u + (r(2) * v)/r(3))
16. X x
17. u < x
18. x < v
19. (x - u) ≤ ((r(2)/r(3)) * (v - u))
⊢ ((r(3) * v) + (r(-3) * x)) ≤ ((r(-2) * u) + (r(2) * v))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
\mvdash{}  \mforall{}u,v:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .
        ((u  <  v)
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                  (((u  <  p)  \mwedge{}  (p  <  v))
                  \mwedge{}  ((p  -  u)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (v  -  u)))
                  \mwedge{}  ((v  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (v  -  u))))))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (D  2  With  \mkleeneopen{}((r(2)  *  u)  +  v/r(3))\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}(u  +  (r(2)  *  v)/r(3))\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (D  -1  THENA  (nRMul  \mkleeneopen{}r(3)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  ParallelLast
  THEN  Auto
  THEN  (nRMul  \mkleeneopen{}r(3)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index