---

Step * 1 1 2 2 1 of Lemma real-subset-connected-lemma


1. X : ℝ ⟶ ℙ
2. dense-in-interval((-∞, ∞);X)
3. a : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
4. b : {x:ℝ| X x}  ⟶ 𝔹
5. ∀x:{x:ℝ| X x} . ((↑(a x)) ∨ (↑(b x)))
6. a0 : {x:ℝ| X x} 
7. b0 : {x:ℝ| X x} 
8. ↑(a a0)
9. ↑(b b0)
10. a0 < b0
11. h : ℕ ⟶ ({x:ℝ| X x}  × {x:ℝ| X x} )
12. (fst(h[0])) < (snd(h[0]))
13. ∀n:ℕ
      ((↑(a (fst(h[n]))))
      ∧ (↑(b (snd(h[n]))))
      ∧ let a,b = h[n] 
        in ∃p:{x:ℝ| X x} 
            (((a < p) ∧ (p < b))
            ∧ (((h[n + 1] = <a, p> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((p - a) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a))))
              ∨ ((h[n + 1] = <p, b> ∈ (ℝ × ℝ)) ∧ ((b - p) ≤ ((r(2)/r(3)) * (b - a)))))))
⊢ |(r(2)/r(3))| < r1
BY
{ (RWO  "rabs-of-nonneg" 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  dense-in-interval((-\minfty{},  \minfty{});X)
3.  a  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  b  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  X  x\}  .  ((\muparrow{}(a  x))  \mvee{}  (\muparrow{}(b  x)))
6.  a0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
7.  b0  :  \{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
8.  \muparrow{}(a  a0)
9.  \muparrow{}(b  b0)
10.  a0  <  b0
11.  h  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\{x:\mBbbR{}|  X  x\}    \mtimes{}  \{x:\mBbbR{}|  X  x\}  )
12.  (fst(h[0]))  <  (snd(h[0]))
13.  \mforall{}n:\mBbbN{}
            ((\muparrow{}(a  (fst(h[n]))))
            \mwedge{}  (\muparrow{}(b  (snd(h[n]))))
            \mwedge{}  let  a,b  =  h[n] 
                in  \mexists{}p:\{x:\mBbbR{}|  X  x\} 
                        (((a  <  p)  \mwedge{}  (p  <  b))
                        \mwedge{}  (((h[n  +  1]  =  <a,  p>)  \mwedge{}  ((p  -  a)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a))))
                            \mvee{}  ((h[n  +  1]  =  <p,  b>)  \mwedge{}  ((b  -  p)  \mleq{}  ((r(2)/r(3))  *  (b  -  a)))))))
\mvdash{}  |(r(2)/r(3))|  <  r1


By

---

Latex:
(RWO    "rabs-of-nonneg"  0  THEN  Auto)

---

Home Index