---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma rmul-rinv1


1. x : ℝ
2. a : {2...}
3. mu-ge(λn.4 <z |x n|;1) = a ∈ {1...}
4. 4 < |x a|
5. ∀[i:ℕ+a]. (¬4 < |x i|)
6. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ (m ≤ (a * |x m|)))
7. a * a ∈ ℕ
8. reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x)) ∈ {f:ℕ+ ⟶ ℤ| 4 * ((4 * a * a) + 1)-regular-seq(f)} 
9. n : {a...}
10. ¬n < a
11. x n ≠ 0
⊢ (|-((4 * n * n) + (-(4 * n * n rem x n)) rem 2 * n)| + |-(4 * n * n rem x n)|) ≤ (|2 * n|
  + (|2 * n| * canonical-bound(x)))
BY
{ TACTIC:TACTIC:((RWO "absval_sym<" 0 THENA Auto)
                 THEN (TACTIC:(GenConcl ⌜((4 * n * n) + (-(4 * n * n rem x n)) rem 2 * n) = r1 ∈ {x:ℤ| |x| < |2 * n|} ⌝⋅
                               THENA Auto
                               )
                       THEN TACTIC:((GenConcl ⌜(4 * n * n rem x n) = r2 ∈ {z:ℤ| |z| < |x n|} ⌝⋅ THENA Auto)
                                    THEN (Assert |r1| ≤ |2 * n| BY
                                                Auto)
                                    THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
                                    THEN ((Assert |r2| ≤ |x n| BY Auto) THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto))⋅)⋅
                       )⋅
                 ) }

1
1. x : ℝ
2. a : {2...}
3. mu-ge(λn.4 <z |x n|;1) = a ∈ {1...}
4. 4 < |x a|
5. ∀[i:ℕ+a]. (¬4 < |x i|)
6. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ (m ≤ (a * |x m|)))
7. a * a ∈ ℕ
8. reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x)) ∈ {f:ℕ+ ⟶ ℤ| 4 * ((4 * a * a) + 1)-regular-seq(f)} 
9. n : {a...}
10. ¬n < a
11. x n ≠ 0
12. r1 : {x:ℤ| |x| < |2 * n|} 
13. ((4 * n * n) + (-(4 * n * n rem x n)) rem 2 * n) = r1 ∈ {x:ℤ| |x| < |2 * n|} 
14. r2 : {z:ℤ| |z| < |x n|} 
15. (4 * n * n rem x n) = r2 ∈ {z:ℤ| |z| < |x n|} 
16. |r1| ≤ |2 * n|
17. |r2| ≤ |x n|
⊢ (|2 * n| + |x n|) ≤ (|2 * n| + (|2 * n| * canonical-bound(x)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  a  :  \{2...\}
3.  mu-ge(\mlambda{}n.4  <z  |x  n|;1)  =  a
4.  4  <  |x  a|
5.  \mforall{}[i:\mBbbN{}\msupplus{}a].  (\mneg{}4  <  |x  i|)
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((a  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (a  *  |x  m|)))
7.  a  *  a  \mmember{}  \mBbbN{}
8.  reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x))  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}|  4  *  ((4  *  a  *  a)  +  1)-regular-seq(f)\} 
9.  n  :  \{a...\}
10.  \mneg{}n  <  a
11.  x  n  \mneq{}  0
\mvdash{}  (|-((4  *  n  *  n)  +  (-(4  *  n  *  n  rem  x  n))  rem  2  *  n)|  +  |-(4  *  n  *  n  rem  x  n)|)  \mleq{}  (|2  *  n|
    +  (|2  *  n|  *  canonical-bound(x)))


By

---

Latex:
TACTIC:TACTIC:((RWO  "absval\_sym<"  0  THENA  Auto)
                              THEN  (TACTIC:(GenConcl  \mkleeneopen{}((4  *  n  *  n)  +  (-(4  *  n  *  n  rem  x  n))  rem  2  *  n)  =  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}
                                                          THENA  Auto
                                                          )
                                          THEN  TACTIC:((GenConcl  \mkleeneopen{}(4  *  n  *  n  rem  x  n)  =  r2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                                                                    THEN  (Assert  |r1|  \mleq{}  |2  *  n|  BY
                                                                                            Auto)
                                                                    THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
                                                                    THEN  ((Assert  |r2|  \mleq{}  |x  n|  BY  Auto)  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))
                                                                    \mcdot{})\mcdot{}
                                          )\mcdot{}
                              )

---

Home Index