---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma sine-poly-approx


1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(2))} 
2. k : ℕ
3. N : ℕ+
4. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k} - (r(sine-approx(x;k;N))/r(2 * N))| ≤ (r1/r(N))
5. |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!))
6. x < r0
7. |x| = -(x)
8. i : ℤ
9. 0 ≤ i
10. i ≤ k
11. M : ℕ+
12. ((2 * i) + 1)! = M ∈ ℕ+
⊢ (r(-1^i) * (x^(2 * i) + 1/r(M))) = -(r(-1^i) * (-(x)^(2 * i) + 1/r(M)))
BY
{ ((Assert -(x)^(2 * i) + 1 = -(x^(2 * i) + 1) BY
          ((RWO "rnexp-rminus" 0 THENA Auto) THEN (RWO "isOdd-2n+1" 0 THENA Auto) THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)
   ) }

1
1. x : {x:ℝ| |x| ≤ (r1/r(2))} 
2. k : ℕ
3. N : ℕ+
4. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k} - (r(sine-approx(x;k;N))/r(2 * N))| ≤ (r1/r(N))
5. |sine(|x|) - Σ{-1^i * (|x|^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤k}| ≤ (|x|^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!))
6. x < r0
7. |x| = -(x)
8. i : ℤ
9. 0 ≤ i
10. i ≤ k
11. M : ℕ+
12. ((2 * i) + 1)! = M ∈ ℕ+
13. -(x)^(2 * i) + 1 = -(x^(2 * i) + 1)
⊢ (r(-1^i) * (x^(2 * i) + 1/r(M))) = -(r(-1^i) * (-(x^(2 * i) + 1)/r(M)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  |x|  \mleq{}  (r1/r(2))\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  (r(sine-approx(x;k;N))/r(2  *  N))|  \mleq{}  (r1/r(N))
5.  |sine(|x|)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (|x|\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}|  \mleq{}  (|x|\^{}(2  *  k)  +  3/r(((2  *  k)
+  3)!))
6.  x  <  r0
7.  |x|  =  -(x)
8.  i  :  \mBbbZ{}
9.  0  \mleq{}  i
10.  i  \mleq{}  k
11.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  ((2  *  i)  +  1)!  =  M
\mvdash{}  (r(-1\^{}i)  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1/r(M)))  =  -(r(-1\^{}i)  *  (-(x)\^{}(2  *  i)  +  1/r(M)))


By

---

Latex:
((Assert  -(x)\^{}(2  *  i)  +  1  =  -(x\^{}(2  *  i)  +  1)  BY
                ((RWO  "rnexp-rminus"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO  "isOdd-2n+1"  0  THENA  Auto)
                  THEN  Reduce  0
                  THEN  Auto))
  THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
  )

---

Home Index