---

Step * 3 1 2 2 1 of Lemma b-almost-full-intersection

.....assertion..... 
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. N : ℕ+
9. ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕn. ∃i,j,k:ℕN. (i < j ∧ j < k ∧ ((g i j) = (g i k) ∈ ℤ) ∧ ((g i k) = (g j k) ∈ ℤ))
10. gamma : StrictInc
⊢ ⇃(∃s:ℕN ⟶ ℕ
     ∀i:ℕN. ∀j:{i + 1..N-}.
       (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
       ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
BY
{ TACTIC:(Thin (-2)
          THEN Assert ⌜⇃(∃s:ℕN ⟶ ℕ
                          ∀i:ℕN
                            (strictly-increasing-seq(n + 1;a.gamma (s i)@n)
                            ∧ (∀j:{i + 1..N-}
                                 (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
                                 ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))))⌝⋅
          ) }

1
.....assertion..... 
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. N : ℕ+
9. gamma : StrictInc
⊢ ⇃(∃s:ℕN ⟶ ℕ
     ∀i:ℕN
       (strictly-increasing-seq(n + 1;a.gamma (s i)@n)
       ∧ (∀j:{i + 1..N-}
            (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
            ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))))

2
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. N : ℕ+
9. gamma : StrictInc
10. ⇃(∃s:ℕN ⟶ ℕ
       ∀i:ℕN
         (strictly-increasing-seq(n + 1;a.gamma (s i)@n)
         ∧ (∀j:{i + 1..N-}
              (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
              ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))))
⊢ ⇃(∃s:ℕN ⟶ ℕ
     ∀i:ℕN. ∀j:{i + 1..N-}.
       (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
       ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  R  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  T  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  b-almost-full(n,m.R[n;m])
4.  b-almost-full(n,m.T[n;m])
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  a  :  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\} 
7.  \00D9(\mforall{}m:\{m:\mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n  +  1;a.m@n)\}  .  \mforall{}s@0:StrictInc.
              \mexists{}n@0:\mBbbN{}
                (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;a.m@n.s@0  n@0@n  +  1)
                \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m]))))
8.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n.  \mexists{}i,j,k:\mBbbN{}N.  (i  <  j  \mwedge{}  j  <  k  \mwedge{}  ((g  i  j)  =  (g  i  k))  \mwedge{}  ((g  i  k)  =  (g  j  k)))
10.  gamma  :  StrictInc
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}s:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mforall{}i:\mBbbN{}N.  \mforall{}j:\{i  +  1..N\msupminus{}\}.
              (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;a.gamma  (s  i)@n.gamma  (s  j)@n  +  1)
              \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m]))))


By

---

Latex:
TACTIC:(Thin  (-2)
                THEN  Assert  \mkleeneopen{}\00D9(\mexists{}s:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                                                \mforall{}i:\mBbbN{}N
                                                    (strictly-increasing-seq(n  +  1;a.gamma  (s  i)@n)
                                                    \mwedge{}  (\mforall{}j:\{i  +  1..N\msupminus{}\}
                                                              (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;a.gamma  (s  i)@n.gamma  (s  j)@n
                                                              +  1)
                                                              \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m]))))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
                )

---

Home Index