---

Step * 3 1 2 2 1 1 of Lemma b-almost-full-intersection

.....assertion..... 
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. N : ℕ+
9. gamma : StrictInc
⊢ ⇃(∃s:ℕN ⟶ ℕ
     ∀i:ℕN
       (strictly-increasing-seq(n + 1;a.gamma (s i)@n)
       ∧ (∀j:{i + 1..N-}
            (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
            ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))))
BY
{ TACTIC:NatInd (-2) }

1
.....basecase..... 
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. gamma : StrictInc
⊢ ⇃(∃s:ℕ0 ⟶ ℕ
     ∀i:ℕ0
       (strictly-increasing-seq(n + 1;a.gamma (s i)@n)
       ∧ (∀j:{i + 1..0-}
            (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
            ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))))

2
.....upcase..... 
1. R : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
2. T : ℕ ⟶ ℕ ⟶ ℙ
3. b-almost-full(n,m.R[n;m])
4. b-almost-full(n,m.T[n;m])
5. n : ℕ
6. a : {s:ℕn ⟶ ℕ| strictly-increasing-seq(n;s)} 
7. ⇃(∀m:{m:ℕ| strictly-increasing-seq(n + 1;a.m@n)} . ∀s@0:StrictInc.
       ∃n@0:ℕ. (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.m@n.s@0 n@0@n + 1) ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))
8. gamma : StrictInc
9. N : ℤ
10. [%5] : 0 < N
11. ⇃(∃s:ℕN - 1 ⟶ ℕ
       ∀i:ℕN - 1
         (strictly-increasing-seq(n + 1;a.gamma (s i)@n)
         ∧ (∀j:{i + 1..N - 1-}
              (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
              ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))))
⊢ ⇃(∃s:ℕN ⟶ ℕ
     ∀i:ℕN
       (strictly-increasing-seq(n + 1;a.gamma (s i)@n)
       ∧ (∀j:{i + 1..N-}
            (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n + 2;a.gamma (s i)@n.gamma (s j)@n + 1)
            ∨ (∃n:ℕ. ∃m:{n + 1...}. (R[n;m] ∧ T[n;m]))))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  R  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  T  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  b-almost-full(n,m.R[n;m])
4.  b-almost-full(n,m.T[n;m])
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  a  :  \{s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n;s)\} 
7.  \00D9(\mforall{}m:\{m:\mBbbN{}|  strictly-increasing-seq(n  +  1;a.m@n)\}  .  \mforall{}s@0:StrictInc.
              \mexists{}n@0:\mBbbN{}
                (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;a.m@n.s@0  n@0@n  +  1)
                \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m]))))
8.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  gamma  :  StrictInc
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}s:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mforall{}i:\mBbbN{}N
              (strictly-increasing-seq(n  +  1;a.gamma  (s  i)@n)
              \mwedge{}  (\mforall{}j:\{i  +  1..N\msupminus{}\}
                        (baf-bar(n,m.R[n;m];n,m.T[n;m];n  +  2;a.gamma  (s  i)@n.gamma  (s  j)@n  +  1)
                        \mvee{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\{n  +  1...\}.  (R[n;m]  \mwedge{}  T[n;m]))))))


By

---

Latex:
TACTIC:NatInd  (-2)

---

Home Index