---

Step * 1 2 1 1 1 1 of Lemma gamma-neighbourhood-prop6


1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n1 : ℕ
3. n2 : ℕn1 ⟶ ℕ
4. x : ℕ
5. n : ℕ
6. ¬↑init-seg-nat-seq(ext-finite-nat-seq(<n1, n2>**λk.(x + 1)^(1);0)^(n);<n1, n2>)
7. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
8. x@0 : ℕ
9. (n1 + 1) ≤ n
10. (λx.if (x) < (n1)  then n2 x  else x@0)
= (λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else (x + 1)  else 0)
∈ (ℕn1 + 1 ⟶ ℕ)
11. x5 : ¬((beta x@0) = 0 ∈ ℤ)
12. x6 : ∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
⊢ x@0 = (x + 1) ∈ ℤ
BY
{ Assert ⌜((λx.if (x) < (n1)  then n2 x  else x@0) n1)
          = ((λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else (x + 1)  else 0) n1)
          ∈ ℕ⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n1 : ℕ
3. n2 : ℕn1 ⟶ ℕ
4. x : ℕ
5. n : ℕ
6. ¬↑init-seg-nat-seq(ext-finite-nat-seq(<n1, n2>**λk.(x + 1)^(1);0)^(n);<n1, n2>)
7. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
8. x@0 : ℕ
9. (n1 + 1) ≤ n
10. (λx.if (x) < (n1)  then n2 x  else x@0)
= (λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else (x + 1)  else 0)
∈ (ℕn1 + 1 ⟶ ℕ)
11. x5 : ¬((beta x@0) = 0 ∈ ℤ)
12. x6 : ∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
⊢ ((λx.if (x) < (n1)  then n2 x  else x@0) n1)
= ((λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else (x + 1)  else 0) n1)
∈ ℕ

2
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n1 : ℕ
3. n2 : ℕn1 ⟶ ℕ
4. x : ℕ
5. n : ℕ
6. ¬↑init-seg-nat-seq(ext-finite-nat-seq(<n1, n2>**λk.(x + 1)^(1);0)^(n);<n1, n2>)
7. ¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)
8. x@0 : ℕ
9. (n1 + 1) ≤ n
10. (λx.if (x) < (n1)  then n2 x  else x@0)
= (λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else (x + 1)  else 0)
∈ (ℕn1 + 1 ⟶ ℕ)
11. x5 : ¬((beta x@0) = 0 ∈ ℤ)
12. x6 : ∀y:ℕx@0. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
13. ((λx.if (x) < (n1)  then n2 x  else x@0) n1)
= ((λk.if (k) < (n1 + 1)  then if (k) < (n1)  then n2 k  else (x + 1)  else 0) n1)
∈ ℕ
⊢ x@0 = (x + 1) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  beta  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  n1  :  \mBbbN{}
3.  n2  :  \mBbbN{}n1  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  x  :  \mBbbN{}
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  \mneg{}\muparrow{}init-seg-nat-seq(ext-finite-nat-seq(<n1,  n2>**\mlambda{}k.(x  +  1)\^{}(1);0)\^{}(n);<n1,  n2>)
7.  \mneg{}((beta  x)  =  0)
8.  x@0  :  \mBbbN{}
9.  (n1  +  1)  \mleq{}  n
10.  (\mlambda{}x.if  (x)  <  (n1)    then  n2  x    else  x@0)
=  (\mlambda{}k.if  (k)  <  (n1  +  1)    then  if  (k)  <  (n1)    then  n2  k    else  (x  +  1)    else  0)
11.  x5  :  \mneg{}((beta  x@0)  =  0)
12.  x6  :  \mforall{}y:\mBbbN{}x@0.  ((beta  y)  =  0)
\mvdash{}  x@0  =  (x  +  1)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}((\mlambda{}x.if  (x)  <  (n1)    then  n2  x    else  x@0)  n1)
                =  ((\mlambda{}k.if  (k)  <  (n1  +  1)    then  if  (k)  <  (n1)    then  n2  k    else  (x  +  1)    else  0)  n1)\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index