---

Step * 1 2 1 of Lemma simple-decidable-finite-cantor


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ ℙ
3. ∀x:T. Dec(R[x])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. d : ℤ
7. [%2] : 0 < d
8. ∀s:𝔹 List. Dec(∃f:ℕn ⟶ 𝔹 [((∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s[i]) ∧ R[F f])]) supposing ||s|| = ((n - d) + 1) ∈ ℤ
9. s : 𝔹 List
10. ||s|| = (n - d) ∈ ℤ
11. ¬(∃f:ℕn ⟶ 𝔹 [((∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [tt][i]) ∧ R[F f])])
12. ¬(∃f:ℕn ⟶ 𝔹 [((∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [ff][i]) ∧ R[F f])])
⊢ Dec(∃f:ℕn ⟶ 𝔹 [((∀i:ℕn - d. f i = s[i]) ∧ R[F f])])
BY
{ TACTIC:(((OrRight THENM D 0 THENM ExRepD) THENA Auto)
          THEN (Assert ∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [f (n - d)][i] BY
                      ((UnivCD THENA Auto)
                       THEN (RWO "select-append" 0 THENA Auto)
                       THEN AutoSplit
                       THEN (Assert ⌜i = (n - d) ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto')
                       THEN (Subst' i - ||s|| ~ 0 0 THENA Auto')
                       THEN Reduce 0
                       THEN HypSubst' (-1) 0
                       THEN Auto))
          ) }

1
1. T : Type
2. R : T ⟶ ℙ
3. ∀x:T. Dec(R[x])
4. n : ℕ
5. F : (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ T
6. d : ℤ
7. 0 < d
8. ∀s:𝔹 List. Dec(∃f:ℕn ⟶ 𝔹 [((∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s[i]) ∧ R[F f])]) supposing ||s|| = ((n - d) + 1) ∈ ℤ
9. s : 𝔹 List
10. ||s|| = (n - d) ∈ ℤ
11. ¬(∃f:ℕn ⟶ 𝔹 [((∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [tt][i]) ∧ R[F f])])
12. ¬(∃f:ℕn ⟶ 𝔹 [((∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [ff][i]) ∧ R[F f])])
13. f : ℕn ⟶ 𝔹
14. ∀i:ℕn - d. f i = s[i]
15. R[F f]
16. ∀i:ℕ(n - d) + 1. f i = s @ [f (n - d)][i]
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}x:T.  Dec(R[x])
4.  n  :  \mBbbN{}
5.  F  :  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  T
6.  d  :  \mBbbZ{}
7.  [\%2]  :  0  <  d
8.  \mforall{}s:\mBbbB{}  List
          Dec(\mexists{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s[i])  \mwedge{}  R[F  f])])  supposing  ||s||  =  ((n  -  d)  +  1)
9.  s  :  \mBbbB{}  List
10.  ||s||  =  (n  -  d)
11.  \mneg{}(\mexists{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s  @  [tt][i])  \mwedge{}  R[F  f])])
12.  \mneg{}(\mexists{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((\mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s  @  [ff][i])  \mwedge{}  R[F  f])])
\mvdash{}  Dec(\mexists{}f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}  [((\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  d.  f  i  =  s[i])  \mwedge{}  R[F  f])])


By

---

Latex:
TACTIC:(((OrRight  THENM  D  0  THENM  ExRepD)  THENA  Auto)
                THEN  (Assert  \mforall{}i:\mBbbN{}(n  -  d)  +  1.  f  i  =  s  @  [f  (n  -  d)][i]  BY
                                        ((UnivCD  THENA  Auto)
                                          THEN  (RWO  "select-append"  0  THENA  Auto)
                                          THEN  AutoSplit
                                          THEN  (Assert  \mkleeneopen{}i  =  (n  -  d)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto')
                                          THEN  (Subst'  i  -  ||s||  \msim{}  0  0  THENA  Auto')
                                          THEN  Reduce  0
                                          THEN  HypSubst'  (-1)  0
                                          THEN  Auto))
                )

---

Home Index