---

Step * 1 3 1 1 1 1 1 1 of Lemma fset-ac-le-distributive-constrained

.....assertion..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
11. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
12. xx : fset(T)
13. as : fset(T)
14. as ∈ a
15. x1 : fset(T)
16. bs : x1 ∈ lub(P;b;c)
17. xx = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
18. ↑(P xx)
19. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(lub(P;b;c)) s.t. P)
20. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
21. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ x1 ⊆≠ xx supposing ys ∈ a ∧ (↑(P ys ⋃ x1))
22. x1 ∈ b
23. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⊆≠ x1 supposing ys ∈ b ⋃ c
24. ¬xx ∈ glb(P;a;b)
⊢ ↓∃z:fset(T). (z ∈ glb(P;a;b) ∧ z ⊆≠ xx)
BY
{ (Assert xx ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. P) BY
         ((BLemma `member-f-union` THEN Auto)
          THEN D 0
          THEN (With ⌜as⌝ (D 0)⋅ THEN Auto)
          THEN BLemma `member-fset-constrained-image-iff`
          THEN Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
11. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
12. xx : fset(T)
13. as : fset(T)
14. as ∈ a
15. x1 : fset(T)
16. bs : x1 ∈ lub(P;b;c)
17. xx = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
18. ↑(P xx)
19. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(lub(P;b;c)) s.t. P)
20. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
21. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ x1 ⊆≠ xx supposing ys ∈ a ∧ (↑(P ys ⋃ x1))
22. x1 ∈ b
23. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⊆≠ x1 supposing ys ∈ b ⋃ c
24. ¬xx ∈ glb(P;a;b)
25. xx ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. P)
⊢ ↓∃z:fset(T). (z ∈ glb(P;a;b) ∧ z ⊆≠ xx)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  c  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
8.  fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9.  x  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
10.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  glb(P;a;b)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
11.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  glb(P;a;c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
12.  xx  :  fset(T)
13.  as  :  fset(T)
14.  as  \mmember{}  a
15.  x1  :  fset(T)
16.  bs  :  x1  \mmember{}  lub(P;b;c)
17.  xx  =  as  \mcup{}  x1
18.  \muparrow{}(P  xx)
19.  \mforall{}[ys:fset(T)]
            \muparrow{}\mneg{}\msubb{}f-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
            supposing  ys  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(lub(P;b;c))  s.t.  P)
20.  \{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  xx\}  =  \{\}
21.  \mforall{}[ys:fset(T)].  \mneg{}ys  \mcup{}  x1  \msubseteq{}\mneq{}  xx  supposing  ys  \mmember{}  a  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  ys  \mcup{}  x1))
22.  x1  \mmember{}  b
23.  \mforall{}[ys:fset(T)].  \mneg{}ys  \msubseteq{}\mneq{}  x1  supposing  ys  \mmember{}  b  \mcup{}  c
24.  \mneg{}xx  \mmember{}  glb(P;a;b)
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}z:fset(T).  (z  \mmember{}  glb(P;a;b)  \mwedge{}  z  \msubseteq{}\mneq{}  xx)


By

---

Latex:
(Assert  xx  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(b)  s.t.  P)  BY
              ((BLemma  `member-f-union`  THEN  Auto)
                THEN  D  0
                THEN  (With  \mkleeneopen{}as\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)
                THEN  BLemma  `member-fset-constrained-image-iff`
                THEN  Auto))

---

Home Index