---

Step * 2 1 1 2 2 of Lemma satisfies-gcd-reduce-ineq-constraints


1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ)
4. u : ℤ
5. v1 : ℤ List
6. [%4] : ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
7. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
8. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
9. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
⊢ (↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;[[u / v1] / v])))
⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;[[u / v1] / v])).xs ⋅ as ≥0)
⇒ (∀as∈[[u / v1] / v].xs ⋅ as ≥0)
BY
{ ((Decide ⌜↑null(v1)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Unfold `gcd-reduce-ineq-constraints` 0
   THEN (RWW "accumulate_abort_cons_lemma" 0 THENA Auto)
   THEN (Reduce 0 THENA Auto)
   THEN RW (SweepDnC IsAxiomC) 0) }

1
1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ)
4. u : ℤ
5. v1 : ℤ List
6. [%4] : ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
7. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
8. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
9. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
10. ↑null(v1)
⊢ (↑isl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u / v1] / sat])
        in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                 in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                    otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                              if (1) < (g)
                                                 then eval h' = h ÷↓ g in
                                                      eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                        inl [[h' / t'] / Ls]
                                                 else (inl [L / Ls]);s';v)))
⇒ (∀as∈outl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u / v1] / sat])
             in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                      in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                         otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                   if (1) < (g)
                                                      then eval h' = h ÷↓ g in
                                                           eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                             inl [[h' / t'] / Ls]
                                                      else (inl [L / Ls]);s';v)).xs ⋅ as ≥0)
⇒ (∀as∈[[u / v1] / v].xs ⋅ as ≥0)

2
1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ)
4. u : ℤ
5. v1 : ℤ List
6. [%4] : ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
7. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
8. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
9. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
10. ¬↑null(v1)
⊢ (↑isl(let s' ⟵ eval g = |gcd-list(v1)| in
                  if (1) < (g)
                     then eval h' = u ÷↓ g in
                          eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);v1) in
                            inl [[h' / t'] / sat]
                     else (inl [[u / v1] / sat])
        in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                 in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                    otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                              if (1) < (g)
                                                 then eval h' = h ÷↓ g in
                                                      eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                        inl [[h' / t'] / Ls]
                                                 else (inl [L / Ls]);s';v)))
⇒ (∀as∈outl(let s' ⟵ eval g = |gcd-list(v1)| in
                       if (1) < (g)
                          then eval h' = u ÷↓ g in
                               eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);v1) in
                                 inl [[h' / t'] / sat]
                          else (inl [[u / v1] / sat])
             in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                      in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                         otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                   if (1) < (g)
                                                      then eval h' = h ÷↓ g in
                                                           eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                             inl [[h' / t'] / Ls]
                                                      else (inl [L / Ls]);s';v)).xs ⋅ as ≥0)
⇒ (∀as∈[[u / v1] / v].xs ⋅ as ≥0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  xs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\} 
3.  0  <  ||xs||  \mwedge{}  (hd(xs)  =  1)
4.  u  :  \mBbbZ{}
5.  v1  :  \mBbbZ{}  List
6.  [\%4]  :  ||[u  /  v1]||  =  n
7.  v  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
8.  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
          ((\muparrow{}isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}v.xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0))
9.  sat  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
\mvdash{}  (\muparrow{}isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;[[u  /  v1]  /  v])))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;[[u  /  v1]  /  v])).xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}[[u  /  v1]  /  v].xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)


By

---

Latex:
((Decide  \mkleeneopen{}\muparrow{}null(v1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `gcd-reduce-ineq-constraints`  0
  THEN  (RWW  "accumulate\_abort\_cons\_lemma"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Reduce  0  THENA  Auto)
  THEN  RW  (SweepDnC  IsAxiomC)  0)

---

Home Index