---

Step * 2 1 1 2 2 1 of Lemma satisfies-gcd-reduce-ineq-constraints


1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ)
4. u : ℤ
5. v1 : ℤ List
6. [%4] : ||[u / v1]|| = n ∈ ℤ
7. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
8. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
9. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
10. ↑null(v1)
⊢ (↑isl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u / v1] / sat])
        in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                 in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                    otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                              if (1) < (g)
                                                 then eval h' = h ÷↓ g in
                                                      eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                        inl [[h' / t'] / Ls]
                                                 else (inl [L / Ls]);s';v)))
⇒ (∀as∈outl(let s' ⟵ if (u) < (0)  then inr ⋅   else (inl [[u / v1] / sat])
             in accumulate_abort(L,Ls.let h,t = L 
                                      in if t = Ax then if (h) < (0)  then inr ⋅   else (inl [L / Ls])
                                         otherwise eval g = |gcd-list(t)| in
                                                   if (1) < (g)
                                                      then eval h' = h ÷↓ g in
                                                           eval t' = eager-map(λx.(x ÷ g);t) in
                                                             inl [[h' / t'] / Ls]
                                                      else (inl [L / Ls]);s';v)).xs ⋅ as ≥0)
⇒ (∀as∈[[u / v1] / v].xs ⋅ as ≥0)
BY
{ (DVar `v1'
   THEN All Reduce
   THEN (Trivial ORELSE Thin (-1))
   THEN (Decide u < 0 THENA Auto)
   THEN (Reduce 0 THENA Auto)
   THEN (((RWO "accumulate_abort-aborted" 0 THENA Auto) THEN Reduce 0 THEN Auto)
   ORELSE ((CallByValueReduce 0 THENA Auto) THEN Fold `gcd-reduce-ineq-constraints` 0)
   )) }

1
1. n : ℕ+
2. xs : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ} 
3. 0 < ||xs|| ∧ (hd(xs) = 1 ∈ ℤ)
4. u : ℤ
5. [%4] : 1 = n ∈ ℤ
6. v : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
7. ∀sat:{L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
     ((↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
     ⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs ⋅ as ≥0)
     ⇒ (∀as∈v.xs ⋅ as ≥0))
8. sat : {L:ℤ List| ||L|| = n ∈ ℤ}  List
9. ¬u < 0
⊢ (↑isl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u] / sat];v)))
⇒ (∀as∈outl(gcd-reduce-ineq-constraints([[u] / sat];v)).xs ⋅ as ≥0)
⇒ (∀as∈[[u] / v].xs ⋅ as ≥0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  xs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\} 
3.  0  <  ||xs||  \mwedge{}  (hd(xs)  =  1)
4.  u  :  \mBbbZ{}
5.  v1  :  \mBbbZ{}  List
6.  [\%4]  :  ||[u  /  v1]||  =  n
7.  v  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
8.  \mforall{}sat:\{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
          ((\muparrow{}isl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(gcd-reduce-ineq-constraints(sat;v)).xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}v.xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0))
9.  sat  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  n\}    List
10.  \muparrow{}null(v1)
\mvdash{}  (\muparrow{}isl(let  s'  \mleftarrow{}{}  if  (u)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [[u  /  v1]  /  sat])
                in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                  in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [L  /  Ls])
                                                                        otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                            if  (1)  <  (g)
                                                                                                  then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                                            eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                                                inl  [[h'  /  t']  /  Ls]
                                                                                                  else  (inl  [L  /  Ls]);s';v)))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}outl(let  s'  \mleftarrow{}{}  if  (u)  <  (0)    then  inr  \mcdot{}      else  (inl  [[u  /  v1]  /  sat])
                          in  accumulate\_abort(L,Ls.let  h,t  =  L 
                                                                            in  if  t  =  Ax  then  if  (h)  <  (0)
                                                                                                                      then  inr  \mcdot{} 
                                                                                                                      else  (inl  [L  /  Ls])
                                                                                  otherwise  eval  g  =  |gcd-list(t)|  in
                                                                                                      if  (1)  <  (g)
                                                                                                            then  eval  h'  =  h  \mdiv{}\mdownarrow{}  g  in
                                                                                                                      eval  t'  =  eager-map(\mlambda{}x.(x  \mdiv{}  g);t)  in
                                                                                                                          inl  [[h'  /  t']  /  Ls]
                                                                                                            else  (inl  [L  /  Ls]);s';v)).xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}as\mmember{}[[u  /  v1]  /  v].xs  \mcdot{}  as  \mgeq{}0)


By

---

Latex:
(DVar  `v1'
  THEN  All  Reduce
  THEN  (Trivial  ORELSE  Thin  (-1))
  THEN  (Decide  u  <  0  THENA  Auto)
  THEN  (Reduce  0  THENA  Auto)
  THEN  (((RWO  "accumulate\_abort-aborted"  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)
  ORELSE  ((CallByValueReduce  0  THENA  Auto)  THEN  Fold  `gcd-reduce-ineq-constraints`  0)
  ))

---

Home Index