---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma lattice-extend-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
9. a1 : fset(Point(L))
10. x : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. x1 : fset(T)
14. x1 ∈ b
15. x = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
16. a1 = f"(x) ∈ fset(Point(L))
⊢ ↓∃as:fset(Point(L))
    ((↓∃x:fset(T). (x ∈ a ∧ (as = f"(x) ∈ fset(Point(L)))))
    ∧ (↓∃x:fset(Point(L)). (x ∈ λxs.f"(xs)"(b) ∧ (a1 = as ⋃ x ∈ fset(Point(L))))))
BY
{ (D 0 THEN With ⌜f"(as)⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
9. a1 : fset(Point(L))
10. x : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. x1 : fset(T)
14. x1 ∈ b
15. x = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
16. a1 = f"(x) ∈ fset(Point(L))
17. ∃x:fset(T). (x ∈ a ∧ (f"(as) = f"(x) ∈ fset(Point(L))))
⊢ ↓∃x:fset(Point(L)). (x ∈ λxs.f"(xs)"(b) ∧ (a1 = f"(as) ⋃ x ∈ fset(Point(L))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  L  :  BoundedDistributiveLattice
4.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
6.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
7.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
8.  \mforall{}[s:fset(fset(T))].  (\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(s))  =  \mlambda{}x./\mbackslash{}(f"(x))"(s))
9.  a1  :  fset(Point(L))
10.  x  :  fset(T)
11.  as  :  fset(T)
12.  as  \mmember{}  a
13.  x1  :  fset(T)
14.  x1  \mmember{}  b
15.  x  =  as  \mcup{}  x1
16.  a1  =  f"(x)
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}as:fset(Point(L))
        ((\mdownarrow{}\mexists{}x:fset(T).  (x  \mmember{}  a  \mwedge{}  (as  =  f"(x))))
        \mwedge{}  (\mdownarrow{}\mexists{}x:fset(Point(L)).  (x  \mmember{}  \mlambda{}xs.f"(xs)"(b)  \mwedge{}  (a1  =  as  \mcup{}  x))))


By

---

Latex:
(D  0  THEN  With  \mkleeneopen{}f"(as)\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index