---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 2 1 of Lemma lattice-extend-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
9. a1 : fset(Point(L))
10. as : fset(Point(L))
11. x1 : fset(T)
12. x1 ∈ a
13. as = f"(x1) ∈ fset(Point(L))
14. x : fset(Point(L))
15. x2 : fset(T)
16. x2 ∈ b
17. x = f"(x2) ∈ fset(Point(L))
18. a1 = as ⋃ x ∈ fset(Point(L))
⊢ ↓∃x:fset(T). ((↓∃as:fset(T). (as ∈ a ∧ x ∈ λbs.as ⋃ bs"(b))) ∧ (a1 = f"(x) ∈ fset(Point(L))))
BY
{ (D 0 THEN (With ⌜x1 ⋃ x2⌝ (D 0)⋅ THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f : T ⟶ Point(L)
6. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
7. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
9. a1 : fset(Point(L))
10. as : fset(Point(L))
11. x1 : fset(T)
12. x1 ∈ a
13. as = f"(x1) ∈ fset(Point(L))
14. x : fset(Point(L))
15. x2 : fset(T)
16. x2 ∈ b
17. x = f"(x2) ∈ fset(Point(L))
18. a1 = as ⋃ x ∈ fset(Point(L))
⊢ (↓∃as:fset(T). (as ∈ a ∧ x1 ⋃ x2 ∈ λbs.as ⋃ bs"(b))) ∧ (a1 = f"(x1 ⋃ x2) ∈ fset(Point(L)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  L  :  BoundedDistributiveLattice
4.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
6.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
7.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
8.  \mforall{}[s:fset(fset(T))].  (\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(s))  =  \mlambda{}x./\mbackslash{}(f"(x))"(s))
9.  a1  :  fset(Point(L))
10.  as  :  fset(Point(L))
11.  x1  :  fset(T)
12.  x1  \mmember{}  a
13.  as  =  f"(x1)
14.  x  :  fset(Point(L))
15.  x2  :  fset(T)
16.  x2  \mmember{}  b
17.  x  =  f"(x2)
18.  a1  =  as  \mcup{}  x
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}x:fset(T).  ((\mdownarrow{}\mexists{}as:fset(T).  (as  \mmember{}  a  \mwedge{}  x  \mmember{}  \mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(b)))  \mwedge{}  (a1  =  f"(x)))


By

---

Latex:
(D  0  THEN  (With  \mkleeneopen{}x1  \mcup{}  x2\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index