---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma fps-moebius-eq


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
11. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y)) ∧ Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
12. bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ
⊢ ((-r 
    Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))])
     1 * fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))) 
   +r 
   0)
= int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))
∈ |r|
BY
{ TACTIC:(HypSubst' (-1) 0 THEN (RWO "int-to-ring-minus" 0 THENA Auto) THEN (RW RngNormC 0 THENM EqCD) THEN Auto) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
11. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
12. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
13. bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ
⊢ Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))])
   fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))
= int-to-ring(r;Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p)))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbZ{}
6.  0  <  n
7.  \mforall{}b:bag(X).  (\#(b)  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  (fps-div-coeff(eq;r;1;\mlambda{}b.1;1;b)  =  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))))
8.  b  :  bag(X)
9.  \mneg{}(b  =  \{\})
10.  \#(b)  <  n
11.  Assoc(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))  \mwedge{}  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
12.  bag-moebius(eq;b)  =  (-\mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(p)))
\mvdash{}  ((-r 
        \mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  1 
                                                                                                            * 
                                                                                                            fps-div-coeff(eq;r;\mlambda{}b.if  bag-null(b)
                                                                                                                                                        then  1
                                                                                                                                                        else  0
                                                                                                                                                        fi  ;\mlambda{}b.1;1;snd(p))) 
      +r 
      0)
=  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))


By

---

Latex:
TACTIC:(HypSubst'  (-1)  0
                THEN  (RWO  "int-to-ring-minus"  0  THENA  Auto)
                THEN  (RW  RngNormC  0  THENM  EqCD)
                THEN  Auto)

---

Home Index