---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma fps-moebius-eq


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
11. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
12. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
13. bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ
⊢ Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))])
   fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))
= int-to-ring(r;Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p)))
∈ |r|
BY
{ TACTIC:((InstLemma `bag-summation-hom` [⌜ℤ-rng⌝;⌜r⌝;⌜λ2x.int-to-ring(r;x)⌝;⌜bag(X) × bag(X)⌝;
           ⌜λ2p.bag-moebius(eq;snd(p))⌝;⌜[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]⌝]⋅
           THENA Auto
           )
          THEN Reduce (-1)
          THEN RWO "-1<" 0
          THEN Auto) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℤ
6. 0 < n
7. ∀b:bag(X). (#(b) < n - 1 ⇒ (fps-div-coeff(eq;r;1;λb.1;1;b) = int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b)) ∈ |r|))
8. b : bag(X)
9. ¬(b = {} ∈ bag(X))
10. #(b) < n
11. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
12. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
13. bag-moebius(eq;b) = (-Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))) ∈ ℤ
14. Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(x)))
= int-to-ring(r;Σ(x∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(x)))
∈ |r|
⊢ Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))])
   fps-div-coeff(eq;r;λb.if bag-null(b) then 1 else 0 fi ;λb.1;1;snd(p))
= Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). int-to-ring(r;bag-moebius(eq;snd(p)))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbZ{}
6.  0  <  n
7.  \mforall{}b:bag(X).  (\#(b)  <  n  -  1  {}\mRightarrow{}  (fps-div-coeff(eq;r;1;\mlambda{}b.1;1;b)  =  int-to-ring(r;bag-moebius(eq;b))))
8.  b  :  bag(X)
9.  \mneg{}(b  =  \{\})
10.  \#(b)  <  n
11.  Assoc(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
12.  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
13.  bag-moebius(eq;b)  =  (-\mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(p)))
\mvdash{}  \mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  fps-div-coeff(eq;r;\mlambda{}b.if  bag-null(b)
                                                                                                                                                    then  1
                                                                                                                                                    else  0
                                                                                                                                                    fi  ;\mlambda{}b.1;1;snd(p))
=  int-to-ring(r;\mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(p)))


By

---

Latex:
TACTIC:((InstLemma  `bag-summation-hom`  [\mkleeneopen{}\mBbbZ{}-rng\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.int-to-ring(r;x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}bag(X)  \mtimes{}  bag(X)\mkleeneclose{};
                  \mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}p.bag-moebius(eq;snd(p))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                  THENA  Auto
                  )
                THEN  Reduce  (-1)
                THEN  RWO  "-1<"  0
                THEN  Auto)

---

Home Index