---

Step * 1 2 1 of Lemma q-not-limit-zero-diverges


1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. q : ℚ
4. 0 < q
5. c : ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (q ≤ f[m]))
6. B : ℚ
7. ∃N:ℕ. (B ≤ (N * q))
8. h : ℕ ⟶ ℕ
9. ∀n:ℕ. (n < h n ∧ (q ≤ f[h n]))
⊢ ∃n:ℕ. (B ≤ Σ0 ≤ i < n. f[i])
BY
{ (Assert ∃g:ℕ ⟶ ℕ. ∀n:ℕ. ((∀i:ℕn. g i < g n) ∧ (q ≤ f[g n])) BY
         ((InstConcl [⌜λn.(h^n + 1 0)⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN Reduce 0
          THEN skip{(InductionOnNat
                     THEN Try ((Subst' (n - 1) + 1 ~ n -1 THENA Auto))
                     THEN Reduce 0
                     THEN Auto
                     THEN (Subst ⌜(h^n + 1 0) = (h (h^n 0)) ∈ ℕ⌝ 0⋅
                           THENA (Auto THEN Symmetry THEN BLemma `fun_exp_add1` THEN Auto)
                           )
                     THEN Auto)})) }

1
1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. q : ℚ
4. 0 < q
5. c : ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (q ≤ f[m]))
6. B : ℚ
7. ∃N:ℕ. (B ≤ (N * q))
8. h : ℕ ⟶ ℕ
9. ∀n:ℕ. (n < h n ∧ (q ≤ f[h n]))
⊢ ∀n:ℕ. ((∀i:ℕn. h^i + 1 0 < h^n + 1 0) ∧ (q ≤ f[h^n + 1 0]))

2
1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. q : ℚ
4. 0 < q
5. c : ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (q ≤ f[m]))
6. B : ℚ
7. ∃N:ℕ. (B ≤ (N * q))
8. h : ℕ ⟶ ℕ
9. ∀n:ℕ. (n < h n ∧ (q ≤ f[h n]))
10. ∃g:ℕ ⟶ ℕ. ∀n:ℕ. ((∀i:ℕn. g i < g n) ∧ (q ≤ f[g n]))
⊢ ∃n:ℕ. (B ≤ Σ0 ≤ i < n. f[i])

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbQ{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  \mleq{}  f[n])
3.  q  :  \mBbbQ{}
4.  0  <  q
5.  c  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  ((n  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (q  \mleq{}  f[m]))
6.  B  :  \mBbbQ{}
7.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  (B  \mleq{}  (N  *  q))
8.  h  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (n  <  h  n  \mwedge{}  (q  \mleq{}  f[h  n]))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (B  \mleq{}  \mSigma{}0  \mleq{}  i  <  n.  f[i])


By

---

Latex:
(Assert  \mexists{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  g  i  <  g  n)  \mwedge{}  (q  \mleq{}  f[g  n]))  BY
              ((InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.(h\^{}n  +  1  0)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  Reduce  0
                THEN  skip\{(InductionOnNat
                                      THEN  Try  ((Subst'  (n  -  1)  +  1  \msim{}  n  -1  THENA  Auto))
                                      THEN  Reduce  0
                                      THEN  Auto
                                      THEN  (Subst  \mkleeneopen{}(h\^{}n  +  1  0)  =  (h  (h\^{}n  0))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                                                  THENA  (Auto  THEN  Symmetry  THEN  BLemma  `fun\_exp\_add1`  THEN  Auto)
                                                  )
                                      THEN  Auto)\}))

---

Home Index