---

Step * 1 2 1 1 of Lemma q-not-limit-zero-diverges


1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. q : ℚ
4. 0 < q
5. c : ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (q ≤ f[m]))
6. B : ℚ
7. ∃N:ℕ. (B ≤ (N * q))
8. h : ℕ ⟶ ℕ
9. ∀n:ℕ. (n < h n ∧ (q ≤ f[h n]))
⊢ ∀n:ℕ. ((∀i:ℕn. h^i + 1 0 < h^n + 1 0) ∧ (q ≤ f[h^n + 1 0]))
BY
{ (InductionOnNat
   THEN Try ((Subst' (n - 1) + 1 ~ n -1 THENA Auto))
   THEN Reduce 0
   THEN Auto
   THEN (Subst ⌜(h^n + 1 0) = (h (h^n 0)) ∈ ℕ⌝ 0⋅ THENA (Auto THEN Try ((RWO "fun_exp_add1" 0 THEN Complete (Auto)))))
   THEN Auto) }

1
1. f : ℕ ⟶ ℚ
2. ∀n:ℕ. (0 ≤ f[n])
3. q : ℚ
4. 0 < q
5. c : ∀n:ℕ. ∃m:ℕ. ((n ≤ m) ∧ (q ≤ f[m]))
6. B : ℚ
7. ∃N:ℕ. (B ≤ (N * q))
8. h : ℕ ⟶ ℕ
9. ∀n:ℕ. (n < h n ∧ (q ≤ f[h n]))
10. n : ℤ
11. 0 < n
12. ∀i:ℕn - 1. h^i + 1 0 < h^n 0
13. q ≤ f[h^n 0]
14. i : ℕn
⊢ h^i + 1 0 < h (h^n 0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbQ{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  \mleq{}  f[n])
3.  q  :  \mBbbQ{}
4.  0  <  q
5.  c  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  ((n  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (q  \mleq{}  f[m]))
6.  B  :  \mBbbQ{}
7.  \mexists{}N:\mBbbN{}.  (B  \mleq{}  (N  *  q))
8.  h  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (n  <  h  n  \mwedge{}  (q  \mleq{}  f[h  n]))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((\mforall{}i:\mBbbN{}n.  h\^{}i  +  1  0  <  h\^{}n  +  1  0)  \mwedge{}  (q  \mleq{}  f[h\^{}n  +  1  0]))


By

---

Latex:
(InductionOnNat
  THEN  Try  ((Subst'  (n  -  1)  +  1  \msim{}  n  -1  THENA  Auto))
  THEN  Reduce  0
  THEN  Auto
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}(h\^{}n  +  1  0)  =  (h  (h\^{}n  0))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  Try  ((RWO  "fun\_exp\_add1"  0  THEN  Complete  (Auto))))
              )
  THEN  Auto)

---

Home Index