---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma rv-between-vec-mul


1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. c : ℝ
5. z : ℝ^n
6. r0 < ||z||
7. t : ℝ
8. t ∈ (r0, r1)
9. r0 < (|a - c| * ||z||)
10. i : ℕn
11. r0 ≠ z i
12. (b * (z i)) = ((t * a * (z i)) + ((r1 - t) * c * (z i)))
13. b = ((t * a) + ((r1 - t) * c))
⊢ ((a < b) ∧ (b < c)) ∨ ((c < b) ∧ (b < a))
BY
{ (Thin (-2)
   THEN (FLemma `rmul-is-positive` [-4] THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Auto
   THEN (RWO "rabs-positive-iff<" (-2) THENA Auto)
   THEN (((D -2 THEN nRAdd ⌜c⌝ (-2)⋅) THENL [OrLeft; OrRight]) THENA Auto)
   THEN RWO  "-3" 0
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. c : ℝ
5. z : ℝ^n
6. r0 < ||z||
7. t : ℝ
8. t ∈ (r0, r1)
9. r0 < (|a - c| * ||z||)
10. i : ℕn
11. r0 ≠ z i
12. b = ((t * a) + ((r1 - t) * c))
13. a < c
14. r0 < ||z||
⊢ a < ((t * a) + ((r1 - t) * c))

2
1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. c : ℝ
5. z : ℝ^n
6. r0 < ||z||
7. t : ℝ
8. t ∈ (r0, r1)
9. r0 < (|a - c| * ||z||)
10. i : ℕn
11. r0 ≠ z i
12. b = ((t * a) + ((r1 - t) * c))
13. a < c
14. r0 < ||z||
15. a < ((t * a) + ((r1 - t) * c))
⊢ ((t * a) + ((r1 - t) * c)) < c

3
1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. c : ℝ
5. z : ℝ^n
6. r0 < ||z||
7. t : ℝ
8. t ∈ (r0, r1)
9. r0 < (|a - c| * ||z||)
10. i : ℕn
11. r0 ≠ z i
12. b = ((t * a) + ((r1 - t) * c))
13. c < a
14. r0 < ||z||
⊢ c < ((t * a) + ((r1 - t) * c))

4
1. n : ℕ
2. a : ℝ
3. b : ℝ
4. c : ℝ
5. z : ℝ^n
6. r0 < ||z||
7. t : ℝ
8. t ∈ (r0, r1)
9. r0 < (|a - c| * ||z||)
10. i : ℕn
11. r0 ≠ z i
12. b = ((t * a) + ((r1 - t) * c))
13. c < a
14. r0 < ||z||
15. c < ((t * a) + ((r1 - t) * c))
⊢ ((t * a) + ((r1 - t) * c)) < a

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}
3.  b  :  \mBbbR{}
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  z  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  r0  <  ||z||
7.  t  :  \mBbbR{}
8.  t  \mmember{}  (r0,  r1)
9.  r0  <  (|a  -  c|  *  ||z||)
10.  i  :  \mBbbN{}n
11.  r0  \mneq{}  z  i
12.  (b  *  (z  i))  =  ((t  *  a  *  (z  i))  +  ((r1  -  t)  *  c  *  (z  i)))
13.  b  =  ((t  *  a)  +  ((r1  -  t)  *  c))
\mvdash{}  ((a  <  b)  \mwedge{}  (b  <  c))  \mvee{}  ((c  <  b)  \mwedge{}  (b  <  a))


By

---

Latex:
(Thin  (-2)
  THEN  (FLemma  `rmul-is-positive`  [-4]  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Auto
  THEN  (RWO  "rabs-positive-iff<"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (((D  -2  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}  (-2)\mcdot{})  THENL  [OrLeft;  OrRight])  THENA  Auto)
  THEN  RWO    "-3"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index