---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma cubical-interval-filler-fills


1. I : Cname List
2. J : nameset(I) List
3. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. bx : I-face(cubical-interval();I) List
7. adjacent-compatible(cubical-interval();I;bx)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. j : ℕ||bx||
16. nameset(J) ⊆r nameset(I)
17. y : nameset(J)
18. hd(J) = y ∈ nameset(J)
19. x1 : name-morph(I-[dimension(bx[j])];[])
20. f : name-morph(I;[])
21. ((dimension(bx[j]):=direction(bx[j])) o x1) = f ∈ name-morph(I;[])
22. c : ℕ2
23. (f y) = c ∈ ℕ2
24. v : I-face(cubical-interval();I)
25. (v ∈ bx)
26. face-name(v) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
27. get_face(y;c;bx) = v ∈ {f:I-face(cubical-interval();I)| (f ∈ bx) ∧ (face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))} 
28. dimension(v) = dimension(bx[j]) ∈ Cname
⊢ cube(v)(f) = (cube(bx[j]) x1) ∈ ℕ2
BY
{ (RepUR ``face-name`` -3
   THEN ((EqHD (-3) THENA Auto) THEN All Reduce)
   THEN Fold `face-direction` (-3)
   THEN Fold `face-dimension` (-4)
   THEN Eliminate ⌜dimension(bx[j])⌝⋅
   THEN FoldTop `guard` (-1)
   THEN Eliminate ⌜dimension(v)⌝⋅) }

1
1. I : Cname List
2. v : I-face(cubical-interval();I)
3. J : nameset(I) List
4. y : nameset(J)
5. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
6. x : nameset(I)
7. i : ℕ2
8. bx : I-face(cubical-interval();I) List
9. adjacent-compatible(cubical-interval();I;bx)
10. ¬(x ∈ J)
11. l_subset(Cname;J;I)
12. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
13. (∃f∈bx. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
14. (∀f∈bx.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
16. (∀f1,f2∈bx.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
17. j : ℕ||bx||
18. nameset(J) ⊆r nameset(I)
19. hd(J) = y ∈ nameset(J)
20. x1 : name-morph(I-[y];[])
21. f : name-morph(I;[])
22. ((y:=direction(bx[j])) o x1) = f ∈ name-morph(I;[])
23. c : ℕ2
24. (f y) = c ∈ ℕ2
25. (v ∈ bx)
26. dimension(v) = y ∈ nameset(I)
27. direction(v) = c ∈ ℕ2
28. get_face(y;c;bx) = v ∈ {f:I-face(cubical-interval();I)| (f ∈ bx) ∧ (face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))} 
29. {y = dimension(bx[j]) ∈ Cname}
⊢ cube(v)(f) = (cube(bx[j]) x1) ∈ ℕ2

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Cname  List
2.  J  :  nameset(I)  List
3.  \mneg{}(J  =  [])
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  bx  :  I-face(cubical-interval();I)  List
7.  adjacent-compatible(cubical-interval();I;bx)
8.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
9.  l\_subset(Cname;J;I)
10.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <y,  c>)
11.  (\mexists{}f\mmember{}bx.  face-name(f)  =  <x,  i>)
12.  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
13.  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
14.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
15.  j  :  \mBbbN{}||bx||
16.  nameset(J)  \msubseteq{}r  nameset(I)
17.  y  :  nameset(J)
18.  hd(J)  =  y
19.  x1  :  name-morph(I-[dimension(bx[j])];[])
20.  f  :  name-morph(I;[])
21.  ((dimension(bx[j]):=direction(bx[j]))  o  x1)  =  f
22.  c  :  \mBbbN{}2
23.  (f  y)  =  c
24.  v  :  I-face(cubical-interval();I)
25.  (v  \mmember{}  bx)
26.  face-name(v)  =  <y,  c>
27.  get\_face(y;c;bx)  =  v
28.  dimension(v)  =  dimension(bx[j])
\mvdash{}  cube(v)(f)  =  (cube(bx[j])  x1)


By

---

Latex:
(RepUR  ``face-name``  -3
  THEN  ((EqHD  (-3)  THENA  Auto)  THEN  All  Reduce)
  THEN  Fold  `face-direction`  (-3)
  THEN  Fold  `face-dimension`  (-4)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}dimension(bx[j])\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  FoldTop  `guard`  (-1)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}dimension(v)\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index