---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma groupoid-nerve-filler-fills


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
8. 3 < ||bx||
9. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
10. ¬↑null(J)
11. i1 : ℕ||bx||
12. y : nameset(I)
13. a : ℕ2
14. F : Functor(poset-cat(I-[y]);cat(G))
15. bx[i1] = <y, a, F> ∈ I-face(cubical-nerve(cat(G));I)
16. (y = x ∈ Cname) ⇒ (a = i ∈ ℕ2)
17. ∀f:name-morph(I-[y];[]). (((y:=a) o f) ∈ name-morph(I;[]))
18. λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x)) ∈ name-morph(I-[y];[]) ⟶ cat-ob(cat(G))
⊢ poset-functor-extends(cat(G);I-[y];λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x));λz,f. nerve_box_edge(bx;((y:=a) o f);z);F)
⇒ (functor-comp(poset-functor(I;I-[y];(y:=a));groupoid-nerve-filler2(cat(G);I;J;bx))
   = F
   ∈ Functor(poset-cat(I-[y]);cat(G)))
BY
{ TACTIC:Assert ⌜λz,f. nerve_box_edge(bx;((y:=a) o f);z) ∈ i:nameset(I-[y])
                 ⟶ c:{c:name-morph(I-[y];[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2} 
                 ⟶ (cat-arrow(cat(G)) ((λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x))) c) 
                     ((λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x))) flip(c;i)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
8. 3 < ||bx||
9. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
10. ¬↑null(J)
11. i1 : ℕ||bx||
12. y : nameset(I)
13. a : ℕ2
14. F : Functor(poset-cat(I-[y]);cat(G))
15. bx[i1] = <y, a, F> ∈ I-face(cubical-nerve(cat(G));I)
16. (y = x ∈ Cname) ⇒ (a = i ∈ ℕ2)
17. ∀f:name-morph(I-[y];[]). (((y:=a) o f) ∈ name-morph(I;[]))
18. λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x)) ∈ name-morph(I-[y];[]) ⟶ cat-ob(cat(G))
⊢ λz,f. nerve_box_edge(bx;((y:=a) o f);z) ∈ i:nameset(I-[y])
  ⟶ c:{c:name-morph(I-[y];[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2} 
  ⟶ (cat-arrow(cat(G)) ((λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x))) c) ((λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x))) flip(c;i)))

2
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
8. 3 < ||bx||
9. (∃j1∈J. (∃j2∈J. ¬(j1 = j2 ∈ Cname)))
10. ¬↑null(J)
11. i1 : ℕ||bx||
12. y : nameset(I)
13. a : ℕ2
14. F : Functor(poset-cat(I-[y]);cat(G))
15. bx[i1] = <y, a, F> ∈ I-face(cubical-nerve(cat(G));I)
16. (y = x ∈ Cname) ⇒ (a = i ∈ ℕ2)
17. ∀f:name-morph(I-[y];[]). (((y:=a) o f) ∈ name-morph(I;[]))
18. λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x)) ∈ name-morph(I-[y];[]) ⟶ cat-ob(cat(G))
19. λz,f. nerve_box_edge(bx;((y:=a) o f);z) ∈ i:nameset(I-[y])
    ⟶ c:{c:name-morph(I-[y];[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2} 
    ⟶ (cat-arrow(cat(G)) ((λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x))) c) ((λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x))) flip(c;i)))
⊢ poset-functor-extends(cat(G);I-[y];λx.nerve_box_label(bx;((y:=a) o x));λz,f. nerve_box_edge(bx;((y:=a) o f);z);F)
⇒ (functor-comp(poset-functor(I;I-[y];(y:=a));groupoid-nerve-filler2(cat(G);I;J;bx))
   = F
   ∈ Functor(poset-cat(I-[y]);cat(G)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  \mneg{}(J  =  [])
5.  x  :  nameset(I)
6.  i  :  \mBbbN{}2
7.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
8.  3  <  ||bx||
9.  (\mexists{}j1\mmember{}J.  (\mexists{}j2\mmember{}J.  \mneg{}(j1  =  j2)))
10.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
11.  i1  :  \mBbbN{}||bx||
12.  y  :  nameset(I)
13.  a  :  \mBbbN{}2
14.  F  :  Functor(poset-cat(I-[y]);cat(G))
15.  bx[i1]  =  <y,  a,  F>
16.  (y  =  x)  {}\mRightarrow{}  (a  =  i)
17.  \mforall{}f:name-morph(I-[y];[]).  (((y:=a)  o  f)  \mmember{}  name-morph(I;[]))
18.  \mlambda{}x.nerve\_box\_label(bx;((y:=a)  o  x))  \mmember{}  name-morph(I-[y];[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(cat(G))
\mvdash{}  poset-functor-extends(cat(G);I-[y];\mlambda{}x.nerve\_box\_label(bx;((y:=a)  o  x));
                                                \mlambda{}z,f.  nerve\_box\_edge(bx;((y:=a)  o  f);z);F)
{}\mRightarrow{}  (functor-comp(poset-functor(I;I-[y];(y:=a));groupoid-nerve-filler2(cat(G);I;J;bx))  =  F)


By

---

Latex:
TACTIC:Assert  \mkleeneopen{}\mlambda{}z,f.  nerve\_box\_edge(bx;((y:=a)  o  f);z)  \mmember{}  i:nameset(I-[y])
                              {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I-[y];[])|  (c  i)  =  0\} 
                              {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(cat(G))  ((\mlambda{}x.nerve\_box\_label(bx;((y:=a)  o  x)))  c) 
                                      ((\mlambda{}x.nerve\_box\_label(bx;((y:=a)  o  x)))  flip(c;i)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index